Hauptraumzerlegung < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Sei [mm] f\in [/mm] End(V), sein [mm] P_f(t)=\prod^k_{i=1}(t-\lambda_i)^{r_i} [/mm] mit [mm] r_i\in\mathbb{N}, [/mm] dann gilt [mm] V=Hau(f,\lambda_1)\oplus \hdots \oplus Hau(f,\lambda_k) [/mm] |
Okay, aus den selben Voraussetzungen folgt
dim [mm] Hau(f,\lamda_i)=r_i=\mu_a(f,\lambda_i) [/mm] für [mm] 1\leq i\leq [/mm] k
Daraus ist [mm] \sum^k_{i=1}dim Hau(f_\lambda_i)=\sum^k_{i=1} r_i=n
[/mm]
(Da char. Pol. vom Grad n und zerfällt mit den Vielfachheiten [mm] r_i)
[/mm]
Zeige [mm] \bigoplus^k_{i=1}Hau(f_\lambda_i). [/mm] Dann ist dim [mm] \bigoplus^k_{i=1}Hau(f,\lambda_i) [/mm] = [mm] \sum^k_{i=1}dim Hau(f_\lambda_i)=n
[/mm]
also [mm] \bigoplus^k_{i=1}Hau(f_\lambda_i) [/mm] = V.
Aber wie zeige ich [mm] \bigoplus^k_{i=1}Hau(f_\lambda_i) [/mm] ?
Kann man das direkt sehen? Stehe ich nur auf dem Schlauch oder muss man tatsächlich zeigen, dass für alle [mm] j\in\{1,\hdots,k\} [/mm] gilt: [mm] Hau(f,\lambda_j)\cap \sum^k_{i=1, i\neq j}Hau(f,\lambda_i)=\{0\} [/mm] ?
Dazu fällt mir dann nur ein, dass ich ein v betrachte, das sowohl im j-ten Hau ist, als auch in der Summe der anderen.
Dann ist [mm] (f-\lambda_j)^nv=0 [/mm] und eine Darstellung von v ist [mm] v=\sum^k_{i=1,i\neq j} \sum_{l=1}^{p_i} b^{(i)}_lu^{(i)}_l [/mm] wobei [mm] u^{(i)}_l [/mm] der l-te Basisvektor aus [mm] Hau(f,\lambda_i) [/mm] ist und [mm] b^{(i)}_l [/mm] sein Koeffizient. D.h. es gilt insbesondere [mm] (f-\lambda_iid)u^{(i)}_l=0 [/mm] für [mm] 1\leq i\leq [/mm] k und [mm] 1\leq l\leq p_i
[/mm]
Einsetzen in [mm] (f-\lambda_j)^nv=0 [/mm] liefert dann ausschließlich v=0.
Ist das der Weg?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:33 Do 28.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f\in[/mm] End(V), sein
> [mm]P_f(t)=\prod^k_{i=1}(t-\lambda_i)^{r_i}[/mm] mit
> [mm]r_i\in\mathbb{N},[/mm] dann gilt [mm]V=Hau(f,\lambda_1)\oplus \hdots \oplus Hau(f,\lambda_k)[/mm]
>
> Okay, aus den selben Voraussetzungen folgt
>
> dim [mm]Hau(f,\lamda_i)=r_i=\mu_a(f,\lambda_i)[/mm] für [mm]1\leq i\leq[/mm]
> k
>
> Daraus ist [mm]\sum^k_{i=1}dim Hau(f_\lambda_i)=\sum^k_{i=1} r_i=n[/mm]
>
> (Da char. Pol. vom Grad n und zerfällt mit den
> Vielfachheiten [mm]r_i)[/mm]
>
> Zeige [mm]\bigoplus^k_{i=1}Hau(f_\lambda_i).[/mm]
Was (!!) sollst Du zeigen ??
> Dann ist dim
> [mm]\bigoplus^k_{i=1}Hau(f,\lambda_i)[/mm] = [mm]\sum^k_{i=1}dim Hau(f_\lambda_i)=n[/mm]
>
> also [mm]\bigoplus^k_{i=1}Hau(f_\lambda_i)[/mm] = V.
>
> Aber wie zeige ich [mm]\bigoplus^k_{i=1}Hau(f_\lambda_i)[/mm] ?
Was (!!) solst Du zeigen ??
FRED
>
> Kann man das direkt sehen? Stehe ich nur auf dem Schlauch
> oder muss man tatsächlich zeigen, dass für alle
> [mm]j\in\{1,\hdots,k\}[/mm] gilt: [mm]Hau(f,\lambda_j)\cap \sum^k_{i=1, i\neq j}Hau(f,\lambda_i)=\{0\}[/mm]
> ?
>
> Dazu fällt mir dann nur ein, dass ich ein v betrachte, das
> sowohl im j-ten Hau ist, als auch in der Summe der
> anderen.
>
> Dann ist [mm](f-\lambda_j)^nv=0[/mm] und eine Darstellung von v ist
> [mm]v=\sum^k_{i=1,i\neq j} \sum_{l=1}^{p_i} b^{(i)}_lu^{(i)}_l[/mm]
> wobei [mm]u^{(i)}_l[/mm] der l-te Basisvektor aus [mm]Hau(f,\lambda_i)[/mm]
> ist und [mm]b^{(i)}_l[/mm] sein Koeffizient. D.h. es gilt
> insbesondere [mm](f-\lambda_iid)u^{(i)}_l=0[/mm] für [mm]1\leq i\leq[/mm] k
> und [mm]1\leq l\leq p_i[/mm]
>
> Einsetzen in [mm](f-\lambda_j)^nv=0[/mm] liefert dann
> ausschließlich v=0.
>
> Ist das der Weg?
|
|
|
| |
|
Na, dass
[mm] V=Hau(f,\lambda_1)\oplus \hdots \oplus Hau(f,\lambda_k)
[/mm]
gilt.
Also Zeig ich, dass die Summe [mm] Hau(f,\lambda_1)+\hdots +Hau(f,\lambda_k) [/mm] direkt ist: Also [mm] \bigoplus^k_{i=1}Hau(f,\lambda_i). [/mm] Und dann zeige ich, dass die Dimension der Summe gerade n ist. Also gerade gleich dem ganzen Raum V ist.
Oder nicht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:46 Do 28.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Na, dass
> [mm]V=Hau(f,\lambda_1)\oplus \hdots \oplus Hau(f,\lambda_k)[/mm]
>
> gilt.
>
> Also Zeig ich, dass die Summe [mm]Hau(f,\lambda_1)+\hdots +Hau(f,\lambda_k)[/mm]
> direkt ist: Also [mm]\bigoplus^k_{i=1}Hau(f,\lambda_i).[/mm] Und
> dann zeige ich, dass die Dimension der Summe gerade n ist.
> Also gerade gleich dem ganzen Raum V ist.
>
> Oder nicht?
Ja, so kannst Du das machen.
FRED
|
|
|
|
