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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass ein Ring R genau dann ein Hauptidealring ist, wenn alle Untermoduln von endlich erzeugten freien R-Moduln frei sind. |
Hallo,
obige Aufgabe bereitet mir Schwierigkeiten.
Ich hab mir folgendes überlegt (was bereits in der Vorlesung bewiesen wurde) - ich dachte, das könnte für die Aufgabe eine Rolle spielen:
Wenn R ein Ring ist und a ein Ideal in R (nicht das Nullideal), dann ist a genau dann ein freier R-Modul, wenn a ein Hauptideal ist, welches von einem Nicht-Nullteiler erzeugt wird.
Aber leider kann ich noch nicht den Bogen zu meiner Aufgabe schlagen.
Wäre schön, wenn mir jemand einen Tipp geben würde.
Vielen Dank schon mal im Voraus und
viele Grüße
- Kevin-
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Mo 22.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:14 Mi 24.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Zeigen Sie, dass ein Ring R genau dann ein Hauptidealring
> ist, wenn alle Untermoduln von endlich erzeugten freien
> R-Moduln frei sind.
> Hallo,
>
> obige Aufgabe bereitet mir Schwierigkeiten.
>
> Ich hab mir folgendes überlegt (was bereits in der
> Vorlesung bewiesen wurde) - ich dachte, das könnte für die
> Aufgabe eine Rolle spielen:
> Wenn R ein Ring ist und a ein Ideal in R (nicht das
> Nullideal), dann ist a genau dann ein freier R-Modul, wenn
> a ein Hauptideal ist, welches von einem Nicht-Nullteiler
> erzeugt wird.
>
> Aber leider kann ich noch nicht den Bogen zu meiner Aufgabe
> schlagen.
Damit bekommst du die eine Richtung des Beweises geliefert.
Nimm an, dass alle Untermoduln von endlich erzeugten freien Moduln ueber $R$ wieder frei sind.
Dann schau dir speziell den endlich erzeugten freien $R$-Modul $M = R$ an. Fuer $a [mm] \in [/mm] R [mm] \setminus \{ 0 \}$ [/mm] ist $I = (a)$ ein von 0 verschiedener Untermodul, und nach Voraussetzung frei. Aber dann muss $a$ nach der Aussage oben ein Nichtnullteiler sein.
Und dann nimm dir irgendein Ideal $I$; dies ist ein Untermodul von $M$. Nach Voraussetzung ist $I = (b)$ fuer ein $b [mm] \in [/mm] R$. Damit hast du gezeigt, dass $R$ ein Hauptidealring ist.
LG Felix
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