Hauptidealring, kein, Einheit < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:15 Fr 21.10.2011 | | Autor: | kushkush |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Sei $R=\IZ[\sqrt{-3}]$.
a) Zeige, dass $I= 2\IZ + (1+\sqrt{-3})\IZ$ Ideal von R ist.
b) Zeige, dass R kein Hauptidealring ist.
c) Man finde alle Einheiten von $\IZ / 30 Z$ |
Hallo!
a) Behauptung: $I= 2\IZ + (1+\sqrt{-3}) \IZ Ideal von R
Beweis: Es ist I eine additive Untergruppe für die gilt
i) Abgeschlossenheit: $(2a_{1}+(1+\sqrt{-3})b_{1}) + (2a_{2}+(1+\sqrt{-3})b_{2} = 2(a_{1}+a_{2}) + (1+\sqrt{-3}) (b_{1}+b_{2}) \in I$
ii) Neutral Element: $0 = 2\cdot 0 + (1+\sqrt{-3})\cdot 0$
iii) inverses: für $2a+ (1+\sqrt{-3})b$ ist $(2(-a) + (1+\sqrt{-3})(-b)$
.
Jetzt zeigt man: $r\in R, s \in I \Rightarrow rs,sr \in I$ mit $s= 2a+(1+\sqrt{-3})b$, $r=c+d\sqrt{-3}$.
$rs= (c+\sqrt{-3}d) ( 2a+(1+\sqrt{-3})b)$
$= 2ca+(1+\sqrt{-3})cb + 2\sqrt{-3}da + (1+\sqrt{-3})\sqrt{-3}db$
$= 2ca+ (1+\sqrt{-3}cb + 2\sqrt{-3}da+ \sqrt-3}db - 3 db$
$=2ca + cb - 3db + \sqrt{-3}cb + \sqrt{-3}2da + \sqrt{-3}db$
$=2ca + cb - 3db + (1+\sqrt{-3})(cb+2da+db)-cb-2da-db$
$= 2ca - 2da -4db + (1+\sqrt{-3})(cb+2da+db)$
$= 2(ca-da-2db) + (1+\sqrt{-3})(cb+da+db) \in I$
Weil $\IZ$ kommutativ ist , ist auch $R$ kommutativ und damit auch $rs = sr$. Ist also $rs, sr \in I$
Und damit $I=2\IZ + (1+ \sqrt{-3})\IZ $ Ideal von R.
b) Behauptung: R ist kein Hauptidealring
Beweis:
Zuerst zeigt man, dass $I= 2\IZ + (1+\sqrt{-3})\IZ$ kein Hauptidealring ist. Ist I ein Hauptideal, dann $\exists a\in I$ so dass $a$ minimal und $I=a R$. Man sieht dass a minimal für $|a|=2$ ist. Sei nun $a=2 oder a=1+\sqrt{-3}$.
1. Fall: Ist $a=2$ , dann $\not \exists r \in R : ar=1+\sqrt{-3} \in I \Rightarrow I \ne aR$.
2. Fall: $a=1+\sqrt{-3}$, dann $\not \exists r \in R : ar = 2 \in I \Rightarrow I \ne aR$.
Damit existiert kein $a\in I$ so dass $I=aR$.
Und deswegen ist I auch kein Hauptideal. Also kann R kein Hauptidealring sein.
c) Behauptung: $1,7,11,13,17,19,23,29$ sind die Einheiten von $\IZ / 30 \IZ$
Beweis: Sei $x \ne 0 \in \IZ/ 30\IZ$. Es gilt:
$x\in \IZ/30\IZ $ Nullteiler $\gdw \exists a \ne 0 \in \IZ/30\IZ : xa = ax = 0$
$\gdw xa= 30 b , a<30 , b \in \IN$
$\gdw ggT(x,30) \ne 1 $
Nullteiler sind keine Einheiten weil wenn $a$ eine Einheit , also $\exists a'$ : $a'a=aa'=1$ und $ab=0$ Dann $0=a'\cdot 0= a' a b = b$. Das heisst $a\in \IR^{\*} \Rightarrow (ab=0 \Rightarrow b=0)$ . Damit kann a kein Nullteiler sein. Deswegen kommen nur diejenige $x\in \IZ/30 \IZ$ in Frage, für welche gilt $ggT(x,30) = 1 $. Diese sind $1\cdot 1 = 1 , 7\cdot 13 = 91 = 1 , 11 \cdot 11 = 121 = 1, 17\cdot 23 = 391 = 1 , 19 \cdot 19 = 381 = 1 , 29 \cdot 29 = 841 =1$ .
Stimmt das so??
Wäre sehr dankbar wenn jemand schnell drüberschaut!
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:07 Sa 22.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]R=\IZ[\sqrt{-3}][/mm].
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> a) Zeige, dass [mm]I= 2\IZ + (1+\sqrt{-3})\IZ[/mm] Ideal von R ist.
>
> b) Zeige, dass R kein Hauptidealring ist.
>
> c) Man finde alle Einheiten von [mm]\IZ / 30 Z[/mm]
> Hallo!
>
>
> a) Behauptung: $I= [mm]2\IZ[/mm] + [mm](1+\sqrt{-3}) \IZ[/mm] Ideal von R
>
> Beweis: Es ist I eine additive Untergruppe für die gilt
>
> i) Abgeschlossenheit: [mm](2a_{1}+(1+\sqrt{-3})b_{1}) + (2a_{2}+(1+\sqrt{-3})b_{2} = 2(a_{1}+a_{2}) + (1+\sqrt{-3}) (b_{1}+b_{2}) \in I[/mm]
>
> ii) Neutral Element: [mm]0 = 2\cdot 0 + (1+\sqrt{-3})\cdot 0[/mm]
>
> iii) inverses: für [mm]2a+ (1+\sqrt{-3})b[/mm] ist [mm](2(-a) + (1+\sqrt{-3})(-b)[/mm]
>
> .
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Jetzt zeigt man: [mm]r\in R, s \in I \Rightarrow rs,sr \in I[/mm]
> mit [mm]s= 2a+(1+\sqrt{-3})b[/mm], [mm]r=c+d\sqrt{-3}[/mm].
>
> [mm]rs= (c+\sqrt{-3}d) ( 2a+(1+\sqrt{-3})b)[/mm]
> [mm]= 2ca+(1+\sqrt{-3})cb + 2\sqrt{-3}da + (1+\sqrt{-3})\sqrt{-3}db[/mm]
>
> [mm]= 2ca+ (1+\sqrt{-3}cb + 2\sqrt{-3}da+ \sqrt-3}db - 3 db[/mm]
>
> [mm]=2ca + cb - 3db + \sqrt{-3}cb + \sqrt{-3}2da + \sqrt{-3}db[/mm]
>
> [mm]=2ca + cb - 3db + (1+\sqrt{-3})(cb+2da+db)-cb-2da-db[/mm]
> [mm]= 2ca - 2da -4db + (1+\sqrt{-3})(cb+2da+db)[/mm]
>
> [mm]= 2(ca-da-2db) + (1+\sqrt{-3})(cb+da+db) \in I[/mm]
>
> Weil [mm]\IZ[/mm] kommutativ ist , ist auch [mm]R[/mm] kommutativ und damit
Du meinst: wenn [mm] $\IC$ [/mm] kommutativ ist, ist auch $R$ als Unterring von [mm] $\IC$ [/mm] kommutativ! Nur weil [mm] $\IZ$ [/mm] als Unterring von $R$ kommutativ ist, muss noch lange nicht $R$ selber kommutativ sein!
> auch [mm]rs = sr[/mm]. Ist also [mm]rs, sr \in I[/mm]
>
> Und damit [mm]I=2\IZ + (1+ \sqrt{-3})\IZ[/mm] Ideal von R.
Ich hab's nicht genau nachgerechnet, aber es sieht richtig aus.
Im wesentlichen folgt das ganze daraus, dass $(1 + [mm] \sqrt{-3})^2 \in \IZ$ [/mm] ist.
> b) Behauptung: R ist kein Hauptidealring
>
> Beweis:
>
> Zuerst zeigt man, dass [mm]I= 2\IZ + (1+\sqrt{-3})\IZ[/mm] kein
> Hauptidealring ist.
Du meinst: kein Hauptideal. Ein Hauptidealring ist wenn schon $R$ selber, aber nicht $I$.
> Ist I ein Hauptideal, dann [mm]\exists a\in I[/mm]
> so dass [mm]a[/mm] minimal und [mm]I=a R[/mm].
Was bedeutet "minimal"? Basiert das auf deinen Wuenschen oder gibt es ein Resultat aus der Vorlesung, welches dies abdeckt?
> Man sieht dass a minimal für
> [mm]|a|=2[/mm] ist. Sei nun [mm]a=2 oder a=1+\sqrt{-3}[/mm].
>
> 1. Fall: Ist [mm]a=2[/mm] , dann [mm]\not \exists r \in R : ar=1+\sqrt{-3} \in I \Rightarrow I \ne aR[/mm].
>
> 2. Fall: [mm]a=1+\sqrt{-3}[/mm], dann [mm]\not \exists r \in R : ar = 2 \in I \Rightarrow I \ne aR[/mm].
>
> Damit existiert kein [mm]a\in I[/mm] so dass [mm]I=aR[/mm].
Wieso gibt es keine weiteren Moeglichkeiten fuer $a$?
> Und deswegen ist I auch kein Hauptideal. Also kann R kein
> Hauptidealring sein.
>
>
>
> c) Behauptung: [mm]1,7,11,13,17,19,23,29[/mm] sind die Einheiten von
> [mm]\IZ / 30 \IZ[/mm]
> Beweis: Sei [mm]x \ne 0 \in \IZ/ 30\IZ[/mm]. Es gilt:
>
> [mm]x\in \IZ/30\IZ[/mm] Nullteiler [mm]\gdw \exists a \ne 0 \in \IZ/30\IZ : xa = ax = 0[/mm]
>
> [mm]\gdw xa= 30 b , a<30 , b \in \IN[/mm]
>
> [mm]\gdw ggT(x,30) \ne 1[/mm]
>
> Nullteiler sind keine Einheiten weil wenn [mm]a[/mm] eine Einheit ,
> also [mm]\exists a'[/mm] : [mm]a'a=aa'=1[/mm] und [mm]ab=0[/mm] Dann [mm]0=a'\cdot 0= a' a b = b[/mm].
> Das heisst [mm]a\in \IR^{\*} \Rightarrow (ab=0 \Rightarrow b=0)[/mm]
> . Damit kann a kein Nullteiler sein. Deswegen kommen nur
> diejenige [mm]x\in \IZ/30 \IZ[/mm] in Frage, für welche gilt
> [mm]ggT(x,30) = 1 [/mm]. Diese sind [mm]1\cdot 1 = 1 , 7\cdot 13 = 91 = 1 , 11 \cdot 11 = 121 = 1, 17\cdot 23 = 391 = 1 , 19 \cdot 19 = 381 = 1 , 29 \cdot 29 = 841 =1[/mm]
(Geht aber moeglicherweise mit Mitteln aus der Vorlesung einfacher...)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:40 Mo 24.10.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo!
Vielen vielen Dank!
Gruss
kushkush
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