Hauptidealring < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:35 Mo 24.01.2005 | | Autor: | Phlipper |
Man beweise, daß ein Element eines Hauptidealringes genau dann irreduzibel ist,wenn es ein Primelement ist.
Ich weiß nicht,wie ich die Aufgabe ansetzen soll.
Also ich weiß, dass R ein Hauptidealring ist, also ist R ein Integritätsbereich, also alle a und b aus R --> a * b = 0 für a = 0 oder b = 0.
Außerdem ist jedes Ideal in R ein Hauptideal.
So und nun solch ich zeigen, dass jedes Element in R irreduzibel ist,wenn es ein Primelement ist.Da hängt´s...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 Mo 24.01.2005 | | Autor: | SEcki |
Hallo,
> Also ich weiß, dass R ein Hauptidealring ist, also ist R
> ein Integritätsbereich, also alle a und b aus R --> a * b =
> 0 für a = 0 oder b = 0.
Ich frage mich gerade: ist das wirklich so? Wir (und im Bosch, LinAlg) haben Hauptideal nur für Integritätsringe definiert - mir scheint aber, dass man auch Hauptidealringe konstruieren kann, die keine Integritätsringe sind - vor allem suche ich nicht pathologhische Gegenbeispiele.
> Außerdem ist jedes Ideal in R ein Hauptideal.
> So und nun solch ich zeigen, dass jedes Element in R
> irreduzibel ist,wenn es ein Primelement ist.Da hängt´s...
Ich hab jetzt gerad nicht mehr viel Zeit - wenn du genug Zeit hast, in die Bibliothek zu gehen, steht das in jedem Algebra-Buch. Aber sicher wird hier noch jemand anderes dir helfen.
SEcki
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:26 Di 25.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi
> > Also ich weiß, dass R ein Hauptidealring ist, also ist R
>
> > ein Integritätsbereich, also alle a und b aus R --> a * b
> =
> > 0 für a = 0 oder b = 0.
>
> Ich frage mich gerade: ist das wirklich so? Wir (und im
> Bosch, LinAlg) haben Hauptideal nur für Integritätsringe
> definiert - mir scheint aber, dass man auch Hauptidealringe
> konstruieren kann, die keine Integritätsringe sind - vor
> allem suche ich nicht pathologhische Gegenbeispiele.
also ich kenne keine definition von hauptidealring, in der nicht gefordert wird, dass es sich um einen integritätsring handelt. wenn du aber einen ring suchst, in dem jedes ideal hauptideal ist, der aber kein integritätsring ist, versuche es doch mal mit [m] \mathbb{Z}/(4) [/m] - das sollte es eigentlich tun!
grüße
andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 Di 25.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi
mal ein paar hinweise zu deiner aufgabe:
primelemente sind in jedem integritätsring irreduzibel - dazu brauchst du die bedingung hauptidealring nicht.
denn: sein $p = xy$, dann gilt $p | x$ oder $p | y$, da $p$ prim. oBdA $p|x$, das heißt $x = ap$ und somit $p = xy = apy = (ay)p$. was folgt nun unter ausnutzung der nullteilerfreiheit?
die andere richtung kann man beispielsweis so machen: sei $p$ irreduzibel und $(p)$ das von $p$ erzeugte ideal. dann gilt für jedes ideal [mm] $\mathfrak{a}$ [/mm] mit $(p) [mm] \subset \mathfrak{a} \subset [/mm] R$, dass [mm] $\mathfrak{a}$ [/mm] die form [mm] $\mathfrak{a} [/mm] = (m)$ hat mit $p = mn$ - da $R$ hauptidealring. jetzt folgt aus der irreduzibilität von $p$, das $(m) = (p)$ oder $(m) = R$, also $(p)$ maximal und maximale ideale sind stets prim.
du kannst ja mal drüber nachdenken, das ausformulieren und dich dann wieder melden. ich will außerdem nicht ausschließen, dass die rückrichtung auch direkt - also ohne maximale ideale - geht, aber das sehe ich im moment nicht.
grüße
andreas
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