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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:41 So 09.12.2012 | | Autor: | AntonK |
| Aufgabe | Dagegen ist z. B. der Polynomring [mm] \mathbb{Z}[X] [/mm] kein euklidischer Ring, da das Ideal (X,2) kein Hauptideal ist.
http://de.wikipedia.org/wiki/Euklidischer_Ring |
Hallo Leute,
habe ein paar Verständnisprobleme bezüglich Euklidische Ringe.
1. Wie sieht (X,2) aus?
2. Warum ist dies kein Hauptideal, woran erkenne ich das?
3. Wenn ich keinen Hauptidealring habe, ist dann der Ring auch automatisch nicht euklidisch?
Danke schonmal!
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moin,
> 1. Wie sieht (X,2) aus?
Du hast hier alle Vielfachen von $X$, alle Vielfachen von $2$ sowie alle Linearkombinationen davon. Das heißt also alles der Form $a*X+2b$ mit $a,b [mm] \in \IZ[X]$.
[/mm]
> 2. Warum ist dies kein Hauptideal, woran erkenne ich das?
Der Ring [mm] $\IZ[X]$ [/mm] ist faktoriell. Wäre also $(X,2)=(a)$ für ein $a [mm] \in \IZ[X]$ [/mm] so folgt $a = ggT(X,2)=1$. Damit wäre aber [mm] $(X,2)=\IZ[X]$. [/mm] Dies ist jedoch nicht der Fall, denn als Beispiel $1 [mm] \in \IZ[X]$ [/mm] lässt sich nicht als $aX+2b$ wie oben schreiben.
> 3. Wenn ich keinen Hauptidealring habe, ist dann der Ring
> auch automatisch nicht euklidisch?
Ja, denn jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealring.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:39 So 09.12.2012 | | Autor: | AntonK |
Das heißt, wenn ich ein Element in [mm] \IZ[X] [/mm] finde, dass sich nicht als Linearkombination bilden lässt, dann weiß ich, dass besagtes Ideal kein Hauptideal ist?
Warum ist dann aber z.B. [mm] 2\IZ [/mm] ein Hauptideal von [mm] \IZ [/mm] die 1 lässt sich ja dort nicht bilden.
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Ein Ideal heißt Hauptideal, wenn es von einem einzigen Element erzeugt wird.
[mm] $2\IZ$ [/mm] ist somit ein Hauptideal, da es eben von der 2 erzeugt wird.
In unserem Fall ist es so, dass die Annahme $(X,2)$ sei ein Hauptideal, also $(X,2)=(a)$ für ein $a [mm] \in \IZ[X]$ [/mm] zum Widerspruch führt, da dann $1 [mm] \in [/mm] (X,2)$ gelten müsste.
Das ist aber nur in diesem speziellen Fall so, in anderen Fällen muss man dies ggf. anders zeigen oder widerlegen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:24 So 09.12.2012 | | Autor: | AntonK |
Hm, ich verstehe, ich argumentiere also damit, dass ich (X,2) nicht nur mit einem Element aus [mm] \IZ[X] [/mm] bauen kann, sehe ich das richtig?
Heißt das dann aber nicht auch, dass jedes Ideal von [mm] \IZ[X] [/mm] was sowohl aus einer Konstanten wie auch einem X besteht kein Hauptideal ist? (X,a) ist demnach nie ein Hauptideal oder?
Hauptideale wären dann nur entweder von der Form:
(X) oder (a) also eine Konstante oder?
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$(X,a)$ für ein $a [mm] \in \IZ$ [/mm] ist genau dann ein Hauptideal, wenn $a [mm] \in \{-1,0,1\}$ [/mm] gilt.
Es gibt aber durchaus noch andere Hauptideale als die von dir aufgezählten, zum Beispiel [mm] $(X^2+1)$.
[/mm]
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:31 Mo 10.12.2012 | | Autor: | AntonK |
[mm] (X^2+1) [/mm] ist ja von der Form:
[mm] a(X^2+1)=aX^2+a [/mm] wobei a [mm] \in \IZ[X] [/mm]
1. Element davon wäre z.B. [mm] X^3+X, [/mm] richtig? sprich a=X
2. Es ist ein Hauptideal, da [mm] X^2+1 \in \IZ[X] [/mm] liegt oder?
3. Kann ich so zeigen, dass dies ein Ideal ist?
a) Untergruppe [mm] (\IZ[X],0,+)
[/mm]
(N) [mm] aX^2+a+0=aX^2+a [/mm] => neutrales Element ist enthalten
(I) [mm] aX^2+a-aX^2-a=0 [/mm] => Inverses enthalten
(P) [mm] (aX^2+a)+(bX^2+b)=(a+b)X^2+(a+b) [/mm] => Abgeschlossen
b) Für alle [mm] (aX^2+a) \in (X^2+1) [/mm] und alle b [mm] \in \IZ[X] [/mm] muss [mm] b(aX^2+a) \in (X^2+1) [/mm] liegen.
[mm] b(aX^2+a)=baX^2+ba [/mm] und das liegt offentsichtlich in [mm] (X^2+1).
[/mm]
Ist das so korrekt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mi 12.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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