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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:38 Sa 13.11.2010 | | Autor: | wieschoo |
| Aufgabe | [mm]R=\IZ [\sqrt{-5}][/mm] Integritätsbereich. [mm]N(z)=|z|^2.[/mm]
Sei [mm]I=(2,1+\sqrt{-5})[/mm],[mm]J=(3,2+\sqrt{-5})[/mm],[mm]K=(3,2-\sqrt{-5})[/mm].
Zeigen Sie:
a) Zeigen Sie keines der Ideal in Hauptideal in R.
b) [mm]I^2=(2)[/mm],[mm]IJ=(1-\sqrt{-5})[/mm],[mm]IK=(1+\sqrt{-5})[/mm] sind Hauptideale. Es gilt [mm](6)=I^2JK[/mm] |
Grundsätzlich Wie zeige ich was?
Ein Ideal ist kein Hauptideal:
Ich nehme an es wäre eins und zeige es über die Norm, dass ein Widerspruch entsteht.
Wie zeige ich es ist ein Hauptideal.
zu [mm]I=(m),m\in \IZ[\sqrt{-5}][/mm] Also ist [mm]N(m)|x \,\,\,\,\,\,\,\,\,\forall x\in \IZ[\sqrt{-5}][/mm]
[mm]\Rightarrow N(m)|4 \wedge N(m)|6\Rightarrow N(m)=1\vee N(m)=2[/mm]. Sei [mm]m=a+b\sqrt{-5}\Rightarrow N(m)=a^2+5b^2=2[/mm] Widerspruch! [mm]\Rightarrow N(m)=1\Rightarrow m=\pm 1[/mm]
[mm]1=2*(a+b\sqrt{-5})+(1+\sqrt{-5})(c+d\sqrt{-5})=(3a+2c-5d)+(3b+c+2d)\sqrt{-5}[/mm]
Somit muss gelten:
[mm]1=3a+2c-5d=1[/mm]
[mm]0=3b+c+2d[/mm]
[mm]\Rightarrow 6a+15b-9c=2[/mm]
Widerspruch: 3 teilt linke Seite aber Rechte Seite nicht.
Geht das irgendwie schneller? Es gibt nur 2 Punkte darauf.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:49 So 14.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> [mm]R=\IZ [\sqrt{-5}][/mm] Integritätsbereich. [mm]N(z)=|z|^2.[/mm]
> Sei
> [mm]I=(2,1+\sqrt{-5})[/mm],[mm]J=(3,2+\sqrt{-5})[/mm],[mm]K=(3,2-\sqrt{-5})[/mm].
> Zeigen Sie:
> a) Zeigen Sie keines der Ideal in Hauptideal in R.
> b) [mm]I^2=(2)[/mm],[mm]IJ=(1-\sqrt{-5})[/mm],[mm]IK=(1+\sqrt{-5})[/mm] sind
> Hauptideale. Es gilt [mm](6)=I^2JK[/mm]
>
>
> Grundsätzlich Wie zeige ich was?
> Ein Ideal ist kein Hauptideal:
> Ich nehme an es wäre eins und zeige es über die Norm,
> dass ein Widerspruch entsteht.
> Wie zeige ich es ist ein Hauptideal.
>
> zu [mm]I=(m),m\in \IZ[\sqrt{-5}][/mm] Also ist [mm]N(m)|x \,\,\,\,\,\,\,\,\,\forall x\in \IZ[\sqrt{-5}][/mm]
Du meist $N(m) [mm] \mid [/mm] N(x)$ fuer alle $x [mm] \in [/mm] I$, oder? Das wuerd auch zu folgendem passen:
> [mm]\Rightarrow N(m)|4 \wedge N(m)|6\Rightarrow N(m)=1\vee N(m)=2[/mm].
> Sei [mm]m=a+b\sqrt{-5}\Rightarrow N(m)=a^2+5b^2=2[/mm] Widerspruch!
> [mm]\Rightarrow N(m)=1\Rightarrow m=\pm 1[/mm]
>
> [mm]1=2*(a+b\sqrt{-5})+(1+\sqrt{-5})(c+d\sqrt{-5})=(3a+2c-5d)+(3b+c+2d)\sqrt{-5}[/mm]
> Somit muss gelten:
> [mm]1=3a+2c-5d=1[/mm]
> [mm]0=3b+c+2d[/mm]
> [mm]\Rightarrow 6a+15b-9c=2[/mm]
>
> Widerspruch: 3 teilt linke Seite aber Rechte Seite nicht.
Sieht gut aus.
> Geht das irgendwie schneller? Es gibt nur 2 Punkte darauf.
Das haengt stark davon ab, was ihr bisher so hattet in der Vorlesung.
Du kannst sowas zeigen wie: ist $I = (a, b + c [mm] \sqrt{-5})$ [/mm] mit $a, b, c [mm] \in \IZ$, [/mm] $a > 1$ und $a$ teilt $N(b + c [mm] \sqrt{-5})$, [/mm] so ist $I$ ein echtes Ideal.
Dann brauchst du fuer jedes deiner drei Ideale nur den ersten, kurzen Teil deiner Argumentation.
Und hattet ihr schon die Norm eines Ideals?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:52 So 14.11.2010 | | Autor: | wieschoo |
Danke für die Antwort.
> Moin!
>
> > [mm]R=\IZ [\sqrt{-5}][/mm] Integritätsbereich. [mm]N(z)=|z|^2.[/mm]
> > Sei
> > [mm]I=(2,1+\sqrt{-5})[/mm],[mm]J=(3,2+\sqrt{-5})[/mm],[mm]K=(3,2-\sqrt{-5})[/mm].
> > Zeigen Sie:
> > a) Zeigen Sie keines der Ideal in Hauptideal in R.
> > b) [mm]I^2=(2)[/mm],[mm]IJ=(1-\sqrt{-5})[/mm],[mm]IK=(1+\sqrt{-5})[/mm] sind
> > Hauptideale. Es gilt [mm](6)=I^2JK[/mm]
> >
> >
> > Grundsätzlich Wie zeige ich was?
> > Ein Ideal ist kein Hauptideal:
> > Ich nehme an es wäre eins und zeige es über die Norm,
> > dass ein Widerspruch entsteht.
> > Wie zeige ich es ist ein Hauptideal.
> >
> > zu [mm]I=(m),m\in \IZ[\sqrt{-5}][/mm] Also ist [mm]N(m)|x \,\,\,\,\,\,\,\,\,\forall x\in \IZ[\sqrt{-5}][/mm]
>
> Du meist [mm]N(m) \mid N(x)[/mm] fuer alle [mm]x \in I[/mm], oder? Das wuerd
> auch zu folgendem passen:
Ja ich meinte [mm] $x\in [/mm] I$. (Ich meine A, sage B, schreibe C und war richtig D)
>
> > [mm]\Rightarrow N(m)|4 \wedge N(m)|6\Rightarrow N(m)=1\vee N(m)=2[/mm].
> > Sei [mm]m=a+b\sqrt{-5}\Rightarrow N(m)=a^2+5b^2=2[/mm] Widerspruch!
> > [mm]\Rightarrow N(m)=1\Rightarrow m=\pm 1[/mm]
> >
> >
> [mm]1=2*(a+b\sqrt{-5})+(1+\sqrt{-5})(c+d\sqrt{-5})=(3a+2c-5d)+(3b+c+2d)\sqrt{-5}[/mm]
> > Somit muss gelten:
> > [mm]1=3a+2c-5d=1[/mm]
> > [mm]0=3b+c+2d[/mm]
> > [mm]\Rightarrow 6a+15b-9c=2[/mm]
> >
> > Widerspruch: 3 teilt linke Seite aber Rechte Seite nicht.
>
> Sieht gut aus.
>
> > Geht das irgendwie schneller? Es gibt nur 2 Punkte darauf.
>
> Das haengt stark davon ab, was ihr bisher so hattet in der
> Vorlesung.
>
>
> Du kannst sowas zeigen wie: ist [mm]I = (a, b + c \sqrt{-5})[/mm]
> mit [mm]a, b, c \in \IZ[/mm], [mm]a > 1[/mm] und [mm]a[/mm] teilt [mm]N(b + c \sqrt{-5})[/mm],
> so ist [mm]I[/mm] ein echtes Ideal.
Ich denke, soetwas hatten wir noch nicht. Als echtes Ideal hatten wir bei jetzt nur die Überlegung, dass aus [mm] $1\in I\Rightarrow [/mm] $ I ist kein echtes Ideal.
>
> Dann brauchst du fuer jedes deiner drei Ideale nur den
> ersten, kurzen Teil deiner Argumentation.
>
>
> Und hattet ihr schon die Norm eines Ideals?
Eine Norm war bei uns ein Homomorphismus (in Polynomringen als Gradabbildung). Genaueres gab es leider nicht.
>
> LG Felix
>
Noch einmal danke.
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