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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:47 Di 07.08.2007 | | Autor: | zoe |
| Aufgabe | Für die folgenden Kegelschnitte führe man jeweils eine Hauptachsentransformation durch und entscheide danach, um welche Art von Kegelschnitt es sich handelt.
a) [mm] 7{x_{1}^{2}} [/mm] + [mm] 13{x_{2}^{2}} [/mm] + [mm] 6\wurzel{3} x_{1}x_{2} [/mm] - [mm] 12(\wurzel{3} [/mm] + [mm] 4)x_{1} [/mm] - 12 [mm] (4\wurzel{3} -1)x_{2} [/mm] = -164 |
Hallo liebes Forum,
ich hänge gerade bei der Hauptachsentransformation fest und kann mir ab einem gewissen Punkt nichts mehr erklären.
Die Matrix, die dazu gehört habe ich mit A = [mm] \pmat{ 7 & 3\wurzel{3} \\ 3\wurzel{3} & 13 }.
[/mm]
Über det (A - [mm] \lambda [/mm] E) habe ich [mm] \lambda_{1} [/mm] = 16 und [mm] \lambda_{2} [/mm] = 4
gefunden.
Die Eigenvektoren lauten dann:
zu [mm] \lambda_{1} [/mm] = 16 [mm] \vektor{1 \\ \wurzel{3}}
[/mm]
zu zu [mm] \lambda_{2} [/mm] = 4 [mm] \vektor{- \wurzel{3} \\ 1}
[/mm]
Die Eigenvektoren habe ich normiert und habe jeweils 2 herausbekommen.
Die Matrix B lautet nun also: [mm] \bruch{1}{2} \pmat{ 1 & -\wurzel{3} \\ \wurzel{3} & 1 }
[/mm]
Nun legt man fest: [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2}} [/mm] = B [mm] \vektor{y_{1} \\ y_{2}}
[/mm]
Die "andere" Darstellung der Ausgangsgleichung habe ich auch noch hinbekommen, das Einsetzen auch, aber dann ist Schicht im Schacht.
[mm] (x_1, x_2) \pmat{ 7 & 3\wurzel{3} \\ 3\wurzel{3} & 13 } \vektor{x_1 \\ x_2} [/mm] - 12 [mm] (3\wurzel{3} [/mm] + 4, [mm] 4\wurzel{3} [/mm] - 1) [mm] \vektor{x_1 \\ x_2} [/mm] + 164 =
[mm] (y_1, y_2) B^T \pmat{ 7 & 3\wurzel{3} \\ 3\wurzel{3} & 13 } [/mm] B [mm] \vektor{y_1 \\ y_2} [/mm] - 12 [mm] (3\wurzel{3} [/mm] + 4, [mm] 4\wurzel{3} [/mm] - 1) B [mm] \vektor{y_1 \\ y_2} [/mm] + 164 =
Und jetzt mein Verständnisproblem: Wie komme ich auf diese Gleichung?
[mm] (y_1, y_2) \pmat{ 16 & 0 \\ 0 & 4 } \vektor{y_1 \\ y_2} [/mm] -6 (16, -4) + 164
In der Matrix stehen die beiden [mm] \lambda [/mm] - Werte. Aber das ist jetzt alles ein großes Ratespiel ... für mich.
Fragende Grüße und vielen Dank im voraus von Andrea
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:05 Mi 08.08.2007 | | Autor: | zoe |
Eingeschlichener Fehler:
Es muss korrekt heißen:
[mm](x_1, x_2) \pmat{ 7 & 3\wurzel{3} \\ 3\wurzel{3} & 13 } \vektor{x_1 \\ x_2}[/mm] - 12 [mm](\wurzel{3}[/mm] + 4, [mm]4\wurzel{3}[/mm] - 1) [mm]\vektor{x_1 \\ x_2}[/mm] + 164 =
[mm](y_1, y_2) B^T \pmat{ 7 & 3\wurzel{3} \\ 3\wurzel{3} & 13 }[/mm] B [mm]\vektor{y_1 \\ y_2}[/mm] - 12 [mm](\wurzel{3}[/mm] + 4, [mm]4\wurzel{3}[/mm] - 1) B [mm]\vektor{y_1 \\ y_2}[/mm] + 164 =
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:39 Mi 08.08.2007 | | Autor: | Schnien |
Wie es scheint, hast du einfach nur einen Schreibfehler drin. Und zwar eine 3 zuviel in folgender Zeile:
$ [mm] (y_1, y_2) B^T \pmat{ 7 & 3\wurzel{3} \\ 3\wurzel{3} & 13 } [/mm] $ B $ [mm] \vektor{y_1 \\ y_2} [/mm] $ - 12 $ [mm] (\wurzel{3} [/mm] $ + 4, $ [mm] 4\wurzel{3} [/mm] $ - 1) B $ [mm] \vektor{y_1 \\ y_2} [/mm] $ + 164 =
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