Hauptachsentransformation < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:22 Fr 08.10.2004 | | Autor: | Professor |
Hallo Leute,
befasse mich gerade mit der Koordinatentransformationsformel und dem Thema Quadriken. Dazu hätte ich folgende Frage:
Wenn ich die Hauptachsengleichung berechnen soll, so reicht es doch die Eigenwerte ( [mm] \lambda) [/mm] zu berechnen. Meine Hauptachsengleichung lautet dann:
[mm] \summe_{i=1}^{n} \lambda_{i} [/mm] * [mm] y_{i}^{2}
[/mm]
Wozu brauche ich dann hierzu die Drehmatrix???
MfG
Martin
PS: Vielen Dank für die Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:32 Fr 08.10.2004 | | Autor: | Julius |
Lieber Martin!
Ich nehme mal an mit "Drehmatrix" meinst du die Transformationsmatrix.
Nun, du willst doch auch wissen, wo im Raum genau die Hauptachsen deiner Quadrik liegen, oder nicht? Mit anderen Worten: Du willst doch wissen, wo sich die Eigenvektoren zu den zugehörigen Eigenwerten befinden! Sonst ginge dir ja einige Information über die Quadrik verloren.
Klar? 
Liebe Grüße
Julius
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Hallo Julius,
nun wenn ich aber mit den Eigenwerten die Eigenvektoren schon berechnet habe und aus den Eigenvektoren die Hauptachsen gewonnen haben, brauche ich die Transformationsmatrix nicht mehr oder???
Ave
Martin
PS: Danke für die Schnelle Antwort!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 Fr 08.10.2004 | | Autor: | Julius |
Lieber Martin!
Die Frage ist mir zu philosophisch.  Wozu man sie gebrauchen kann, weiß man ja nie so genau. Kommt drauf an, was man machen will.
Aber wenn es nur darum geht die Quadrik geometrisch zu beschreiben, dann entnimmt man aus der Transformationsmatrix die Basis der Eigenvektoren (denn deren Koordinaten stehen da ja gerade drin), liest daraus also die Lage der Quadrik (die Hauptachsen) im Raum ab, und braucht sie anschließend nicht mehr, nein.
Liebe Grüße
Julius
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Hallo Julius,
habe mir gerade nochmals Gedanken über die Hauptachsen gemacht und habe fest gestellt, dass die Hauptachsen zu Q(x) variieren können, oder?
Die Hauptachsen, sind ja die Eigenvektoren v, welche ich orthogonalisiert habe. Nun, wenn ich zu [mm] v_{1} [/mm] die anderen Eigenvektoren orthogonalisiere, dann sehen meine Hauptachsen doch anders aus, als wenn ich zu [mm] v_{2} [/mm] die anderen Eigenvektoren orthogonalisiere.
Ave
Martin
PS: Vielen Dank schon mal im Voraus und noch ein schönes Wochenende
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 Sa 09.10.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Professor!
So ganz konnte ich deine Überlegungen nicht nachvollziehen. Richtig ist aber, dass die Hauptachsen i.A. nicht eindeutig bestimmt sind. Das sieht man ja schon am Kreis. Dort gibt es überabzählbar viele Möglichkeiten die Hauptachsen zu wählen. Die ON-Basis innerhalb eines höherdimensionalen Eigenraumes ist natürlich nicht eindeutig bestimmt, das ist richtig (und ich nehme mal an, das meintest du ).
Liebe Grüße
Julius
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