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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:42 Mo 04.10.2010 | | Autor: | m0ppel |
Klausurvorbereitung:
[mm] 2x_{1}^2+6x_{1}x_{2}+2x_{2}^2-15x_{1}3y_{2}=23
[/mm]
Hier wollte ich nun eine Hauptachsentransformation durchführen. Allerdings werde ich aus meinem Skript einfach nicht schlau und es ist mir ein Rätsel, wie ich die Sache anzugehen habe.
Kann mir jemand weiterhelfen?
Wäre schön, wenn ich anhand diesem Beispiel einen kleinen Leitfaden für die Hauptachsentransformation bekommen könnte.
Vielen Dank schon mal, die Hilfe ist wirklich dringend!
Lg m0ppel
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> Klausurvorbereitung:
> [mm]2x_{1}^2+6x_{1}x_{2}+2x_{2}^2-15x_{1}3y_{2}=23[/mm]
> Hier wollte ich nun eine Hauptachsentransformation
> durchführen. Allerdings werde ich aus meinem Skript
> einfach nicht schlau und es ist mir ein Rätsel, wie ich
> die Sache anzugehen habe.
>
> Kann mir jemand weiterhelfen?
> Wäre schön, wenn ich anhand diesem Beispiel einen kleinen
> Leitfaden für die Hauptachsentransformation bekommen
> könnte.
Hallo,
Beispiele für Hauptachsentransformationen findest Du im Internet zuhauf. (Kennst Du schon die Wikipedia?...)
Schau Dir ein, zwei davon intensiv an, also mit Stift und Papier.
Danach versuche Dich an Deinem Beispiel, bei Deinen Bemühungen wirst Du hier im Forum gewiß unterstützt.
Es beginnt doch damit, daß
> [mm] $2x_{1}^2+6x_{1}x_{2}+2x_{2}^2-15x_{1}3x_{2}=23$
[/mm]
<==>
> [mm] $2x_{1}^2+6x_{1}x_{2}+2x_{2}^2-15x_{1}3x_{2}-23$=0
[/mm]
geschrieben wird als [mm] x^{T}Ax+b^{T}x+c=0.
[/mm]
Und?
Und nun?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 Di 05.10.2010 | | Autor: | m0ppel |
Hi Angela,
ich habe mich ebend an dem Beispiel auf Wikipedia versucht und habe dazu ein paar Fragen. Hoffe du kannst mir helfen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Hauptachsentransformation#Beispiel
Ich verstehe wie die Matrizen Q und D gebildet werden. Aber in dem Schritt danach ist mir unklar was genau [mm](x',y',z')[/mm] ist und wie es gebildet wird und wie man auf [mm](2\wurzel{3},0,0)*\vektor{x' \\ y' \\ z'}[/mm] kommt.
Ich nehme an bei [mm](x',y',z')[/mm] hat etwas mit der Matrix Q zu tun oder wozu brauche ich sie sonst?
Danke schonmal!
edit:
Ich habe mir mal folgendes Kochrezept aufgeschrieben:
1. A aufstellen
2. Charakteristisches Polynom von A bilden, Eigenwerte und Eigenvektoren bilden. Eigenvektoren orthonormieren und in neue Matrix S schreiben
3. [mm]D=S*A*S^{T}[/mm]
4.[mm]f(x_{1},x_{2},x_{3})=\underbrace{(x_{1},x_{2},x_{3}*S^{T})}_{=x'_{1},x'_{2},x'_{3}}*\underbrace{S*A*S^{T}}_{=D}*(\underbrace{S*\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}})}_{=\vektor{x'_{1} \\ x'_{2} \\ x'_{3}}}[/mm]
5. fertig
komm ich damit zum Ziel? An dem Wikipedia Beispiel konnte ich es nicht erproben, da die Matrizen zu lang wurden
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Hallo m0ppel,
> Hi Angela,
> ich habe mich ebend an dem Beispiel auf Wikipedia versucht
> und habe dazu ein paar Fragen. Hoffe du kannst mir helfen:
>
> http://de.wikipedia.org/wiki/Hauptachsentransformation#Beispiel
>
> Ich verstehe wie die Matrizen Q und D gebildet werden. Aber
> in dem Schritt danach ist mir unklar was genau [mm](x',y',z')[/mm]
> ist und wie es gebildet wird und wie man auf
> [mm](2\wurzel{3},0,0)*\vektor{x' \\ y' \\ z'}[/mm] kommt.
>
> Ich nehme an bei [mm](x',y',z')[/mm] hat etwas mit der Matrix Q zu
> tun oder wozu brauche ich sie sonst?
>
So ist es:
[mm]\pmat{x \\ y \\ z}=Q*\pmat{x' \\ y' \\ z'}[/mm]
> Danke schonmal!
>
> edit:
> Ich habe mir mal folgendes Kochrezept aufgeschrieben:
>
> 1. A aufstellen
> 2. Charakteristisches Polynom von A bilden, Eigenwerte und
> Eigenvektoren bilden. Eigenvektoren orthonormieren und in
> neue Matrix S schreiben
> 3. [mm]D=S*A*S^{T}[/mm]
>
> 4.[mm]f(x_{1},x_{2},x_{3})=\underbrace{(x_{1},x_{2},x_{3}*S^{T})}_{=x'_{1},x'_{2},x'_{3}}*\underbrace{S*A*S^{T}}_{=D}*(\underbrace{S*\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}})}_{=\vektor{x'_{1} \\ x'_{2} \\ x'_{3}}}[/mm]
>
> 5. fertig
>
> komm ich damit zum Ziel? An dem Wikipedia Beispiel konnte
> ich es nicht erproben, da die Matrizen zu lang wurden
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Di 05.10.2010 | | Autor: | m0ppel |
Hallo, danke erstmal für die Antwort, kannst mir noch sagen wie ich auf
$ [mm] (2\wurzel{3},0,0)\cdot{}\vektor{x' \\ y' \\ z'} [/mm] $
komme?
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Hallo m0ppel,
> Hallo, danke erstmal für die Antwort, kannst mir noch
> sagen wie ich auf
>
>
> [mm](2\wurzel{3},0,0)\cdot{}\vektor{x' \\ y' \\ z'}[/mm]
>
> komme?
[mm](2\wurzel{3},0,0)=(2,2,2)*Q[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Di 05.10.2010 | | Autor: | m0ppel |
Bei dem Beispiel auf Wikipedia, warum rechnen Sie da nicht aus was z.B. [mm] \vektor{x' \\ y' \\ z'} [/mm] ist? Muss ich das nicht machen um auf meine Hauptachsentransformation zu kommen?
lg
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Hallo m0ppel,
> Bei dem Beispiel auf Wikipedia, warum rechnen Sie da nicht
> aus was z.B. [mm]\vektor{x' \\ y' \\ z'}[/mm] ist? Muss ich das
Nun, das mag verschiedene Gründe haben,
weshalb die das nicht machen, wie z.B. Platzgründe.
> nicht machen um auf meine Hauptachsentransformation zu
> kommen?
Sicher musst Du das machen.
>
> lg
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 Di 05.10.2010 | | Autor: | m0ppel |
Ok, danke für die Hilfe! Eine letzte Frage noch:
Du hast geschrieben:
> $ [mm] \pmat{x \\ y \\ z}=Q\cdot{}\pmat{x' \\ y' \\ z'} [/mm] $
War das ein Schreibfehler und du meintest $ [mm] \pmat{x' \\ y' \\ z'}=Q\cdot{}\pmat{x \\ y \\ z} [/mm] $ ?
Ansonsten habe ich es verstanden, vielen Dank!
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Hallo m0ppel,
> Ok, danke für die Hilfe! Eine letzte Frage noch:
>
> Du hast geschrieben:
>
> > [mm]\pmat{x \\ y \\ z}=Q\cdot{}\pmat{x' \\ y' \\ z'}[/mm]
>
> War das ein Schreibfehler und du meintest [mm]\pmat{x' \\ y' \\ z'}=Q\cdot{}\pmat{x \\ y \\ z}[/mm]
> ?
Nein, wenn dem so wäre, dann wäre
[mm]\pmat{x \\ y \\ z}=Q^{t}\cdot{}\pmat{x' \\ y' \\ z'}[/mm]
und [mm]Q*A*Q^{t}[/mm] keine Diagonalmatrix.
>
> Ansonsten habe ich es verstanden, vielen Dank!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 Di 05.10.2010 | | Autor: | m0ppel |
Ich habe jetzt eine Beispielaufgabe gerechnet und irgendwas stimmt da nicht:
Aufgabe: [mm]4x^{2}-4xy+y^{2}+8x-4y+3=0[/mm]
[mm]\gdw (x,y)*\pmat{ 4 & -2 \\ -2 & 1 }*\vektor{x \\ y}+(8,-4)*\vektor{x \\ y}+3=0[/mm]
Ich möchte also eine Gleichung der Form [mm] (x',y')*\pmat{ 4 & -2 \\ -2 & 1 }*\vektor{x' \\ y'}+\underbrace{(8,-4)}_{=orthonormiert}*\vektor{x' \\ y'}+3=0[/mm]
1. Eigenvektoren von A orthonormiert und in S: [mm]\bruch{1}{\wurzel{5}}\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & -1 }[/mm]
2.
[mm]D=S*A*S^{T}[/mm]
[mm]D=\bruch{1}{\wurzel{5}}\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & -1 }*\pmat{ 4 & -2 \\ -2 & 1 }*\bruch{1}{\wurzel{5}}\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & -1 }[/mm]
[mm]D=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 5 }[/mm]
3. [mm] \vektor{x' \\ y'} [/mm] berechnen
[mm]\vektor{x' \\ y'}=\bruch{1}{\wurzel{5}}\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & -1 }*\vektor{x \\ y}[/mm]
[mm]\vektor{x' \\ y'}=\vektor{\bruch{x+2y}{\wurzel{5}} \\ \bruch{2x-y}{\wurzel{5}}}[/mm]
4. [mm](8,-4)[/mm] orthonormieren
[mm](8,-4)*\bruch{1}{\wurzel{5}}\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & -1 }=\vektor{0 \\ \bruch{20}{\wurzel{5}}}[/mm]
5. in [mm] (x',y')*\pmat{ 4 & -2 \\ -2 & 1 }*\vektor{x' \\ y'}+(0,\bruch{20}{\wurzel{5}})*\vektor{x' \\ y'}+3=0[/mm] einsetzen und ausrechnen
6.Ergebnis: [mm]4x^{2}-4xy+y^{2}+8x-4y+3=0[/mm]
Wie kann es sein, dass mein Ergebnis wieder genau das ist, womit ich angefangen habe? -.-
lg
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Hallo m0ppel,
> Ich habe jetzt eine Beispielaufgabe gerechnet und irgendwas
> stimmt da nicht:
>
> Aufgabe: [mm]4x^{2}-4xy+y^{2}+8x-4y+3=0[/mm]
> [mm]\gdw (x,y)*\pmat{ 4 & -2 \\ -2 & 1 }*\vektor{x \\ y}+(8,-4)*\vektor{x \\ y}+3=0[/mm]
>
> Ich möchte also eine Gleichung der Form [mm](x',y')*\pmat{ 4 & -2 \\ -2 & 1 }*\vektor{x' \\ y'}+\underbrace{(8,-4)}_{=orthonormiert}*\vektor{x' \\ y'}+3=0[/mm]
>
> 1. Eigenvektoren von A orthonormiert und in S:
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{5}}\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & -1 }[/mm]
>
> 2.
> [mm]D=S*A*S^{T}[/mm]
> [mm]D=\bruch{1}{\wurzel{5}}\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & -1 }*\pmat{ 4 & -2 \\ -2 & 1 }*\bruch{1}{\wurzel{5}}\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & -1 }[/mm]
>
> [mm]D=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 5 }[/mm]
>
> 3. [mm]\vektor{x' \\ y'}[/mm] berechnen
>
> [mm]\vektor{x' \\ y'}=\bruch{1}{\wurzel{5}}\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & -1 }*\vektor{x \\ y}[/mm]
>
> [mm]\vektor{x' \\ y'}=\vektor{\bruch{x+2y}{\wurzel{5}} \\ \bruch{2x-y}{\wurzel{5}}}[/mm]
Ich dachte, Du willst wissen, ob Du die Transformation
[mm]\pmat{x \\ y}=T*\pmat{x' \\ y'}[/mm]
angeben musst.
>
> 4. [mm](8,-4)[/mm] orthonormieren
>
> [mm](8,-4)*\bruch{1}{\wurzel{5}}\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & -1 }=\vektor{0 \\ \bruch{20}{\wurzel{5}}}[/mm]
Hier wendest Du doch die Transfomation an.
>
> 5. in [mm](x',y')*\pmat{ 4 & -2 \\ -2 & 1 }*\vektor{x' \\ y'}+(0,\bruch{20}{\wurzel{5}})*\vektor{x' \\ y'}+3=0[/mm]
Hier muss doch stehen:
[mm](x',y')*\blue{D}*\vektor{x' \\ y'}+(0,\bruch{20}{\wurzel{5}})*\vektor{x' \\ y'}+3=0[/mm]
Dann bekommst ein völlig anderes Ergebnis.
> einsetzen und ausrechnen
>
> 6.Ergebnis: [mm]4x^{2}-4xy+y^{2}+8x-4y+3=0[/mm]
>
>
>
> Wie kann es sein, dass mein Ergebnis wieder genau das ist,
> womit ich angefangen habe? -.-
Wenn Du zuerst [mm]\pmat{x \\ y}=T\pmat{x' \\ y'}[/mm]
und dann die inverse Transformation anwendest, dann
erhältst du logischerweise wieder die Ausgangsgleichung.
Demnach entfällt Punkt 3.
> lg
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 Di 05.10.2010 | | Autor: | m0ppel |
> Hier muss doch stehen:
>
> [mm](x',y')*\blue{D}*\vektor{x' \\ y'}+(0,\bruch{20}{\wurzel{5}})*\vektor{x' \\ y'}+3=0[/mm]
Das war nur ein Schreibfehler von mir.
Also lass ich Schritt 3 weg und rechne bei 5. :
$ [mm] (x',y')\cdot{}\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 5 }\cdot{}\vektor{x' \\ y'}+(0,\bruch{20}{\wurzel{5}})\cdot{}\vektor{x' \\ y'}+3=0 [/mm] $
[mm]=5y'^{2}+\bruch{20y'}{\wurzel{5}}+3[/mm]
Ist das mein Endergebnis? Sorry wenn ich mich ein bisschen dumm anstelle :/
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> [mm](x',y')\cdot{}\pmat{ 0 & 0 \\
0 & 5 }\cdot{}\vektor{x' \\
y'}+(0,\bruch{20}{\wurzel{5}})\cdot{}\vektor{x' \\
y'}+3=0[/mm]
>
> [mm]=5y'^{2}+\bruch{20y'}{\wurzel{5}}+3[/mm]
>
> Ist das mein Endergebnis?
Hallo,
noch nicht ganz. Das muß nun noch in quadratische Form gebracht werden, im Artikel steht das unter "Verschiebung".
[mm] ...=$=5*(y'^{2}+\bruch{4}{\wurzel{5}}y')+3$,
[/mm]
jetzt quadratische Ergänzung.
Gruß v. Angela
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