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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:07 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Lewser |
| Aufgabe | Von einer harmonischen Schwingung sind folgende Daten bekannt: Das erste
Maximum bei y = 5 wird zur Zeit [mm] t_{1} [/mm] = 3 erreicht, das erste Minimum bei [mm] t_{2} [/mm] = 10.
Wann ist zum ersten Mal die Auslenkung y = −2 erreicht? |
Meine Schwingung (lt. Lösung richtig) ist:
[mm] y=5*sin(\bruch{\pi}{7}t+\bruch{\pi}{14})
[/mm]
Dann habe ich -2 eingesetzt und nach t aufgelöst und habe als Ergebnis: t=-1,416. Da die Zeit nicht rückwärts läuft, gehe ich davon aus, dass ich anhand der Symmetrie den nächsten positiven Zeitpunkt t herausfinden muss. In der Lösung ist dieser mit 7,416 angegeben., also gehe ich davon aus, dass ich richtig aufgelöst habe.
Ich habe mir das Ganze einmal aufgezeichnet und sehe, warum das so ist, aber kann mir jemand dafür einen mathematischen Zusammenhang aufschreiben? Ich habe gerade ein Brett vor dem Kopf.
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> Von einer harmonischen Schwingung sind folgende Daten
> bekannt: Das erste
> Maximum bei y = 5 wird zur Zeit [mm]t_{1}[/mm] = 3 erreicht, das
> erste Minimum bei [mm]t_{2}[/mm] = 10.
>
> Wann ist zum ersten Mal die Auslenkung y = −2 erreicht?
>
> Meine Schwingung (lt. Lösung richtig) ist:
>
> [mm]y=5*sin(\bruch{\pi}{7}t+\bruch{\pi}{14})[/mm]
>
> Dann habe ich -2 eingesetzt und nach t aufgelöst und habe
> als Ergebnis: t=-1,416. Da die Zeit nicht rückwärts
> läuft, gehe ich davon aus, dass ich anhand der Symmetrie
> den nächsten positiven Zeitpunkt t herausfinden muss. In
> der Lösung ist dieser mit 7,416 angegeben., also gehe ich
> davon aus, dass ich richtig aufgelöst habe.
>
> Ich habe mir das Ganze einmal aufgezeichnet und sehe, warum
> das so ist, aber kann mir jemand dafür einen
> mathematischen Zusammenhang aufschreiben? Ich habe gerade
> ein Brett vor dem Kopf.
Hallo Lewser,
gesucht ist die kleinste positive Lösung t der Gleichung
[mm]sin\,\left(\underbrace{\,\bruch{\pi}{7}\ t\,+\,\bruch{\pi}{14}\,}_{\large{\alpha}}\right)\ =\ -\,0.4[/mm]
Für [mm] \alpha [/mm] kommen in Frage: [mm] $\alpha\ [/mm] =\ [mm] -arcsin(0.4)+k*2\,\pi$
[/mm]
sowie [mm] $\alpha\ [/mm] =\ [mm] \pi+arcsin(0.4)+k*2\,\pi$ [/mm]
Nun ist, wenn wir mal t=0 einsetzen, [mm] $\alpha\ [/mm] =\ [mm] \bruch{\pi}{14}$
[/mm]
An dieser Stelle sind wir auf der Sinuskurve im positiven
Bereich, und zwar nehmen die Sinuswerte dort noch zu.
Um zur ersten positiven Lösung zu kommen, sollten
wir also die Lösung [mm] $\alpha\ [/mm] =\ [mm] \pi+arcsin(0.4)+k*2\,\pi$ [/mm] mit k=0
nehmen, d.h.
[mm] $\alpha\ [/mm] =\ [mm] \pi+arcsin(0.4)\ \approx\ [/mm] 3.5531$
Den zugehörigen x-Wert erhält man nun durch Rück-
substitution. Der auf Tausendstel gerundete Wert wäre
übrigens 7.417 (nicht 7.416).
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:14 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Lewser |
Sehr gut, hat mir die Augen geöffnet, vielen Dank!
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