Harmonische Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:26 Sa 19.07.2008 | | Autor: | Jaykop |
Hallo!
Ich habe ein Problem mit der Vorstellung, dass die Harmonische Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n} [/mm] Divergent ist,
jedoch die "leicht" veränderte Harmonische Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{\alpha}} [/mm] Konvergent ist. Mit [mm] \alpha>1 [/mm]
Für die Konvergenz spricht:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n^{\beta}} [/mm] ist 0. Mit [mm] \beta \ge [/mm] 1
Und für die Divergenz:
Zwischen zwei reellen Zahlen finde ich immer eine weitere reelle Zahl, die ich aufsummieren kann und somit keine obere Schranke erhalte.
Aber ich kann beide Argumente "logisch" auf beide Fälle übertragen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:51 Sa 19.07.2008 | | Autor: | Framl |
Hi,
dass [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^\beta}=0$ [/mm] ist, heißt noch nicht, dass die Reihe dann konvergiert. Allgemeiner:
Ist [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] konvergent [mm] $\Longrightarrow a_k$ [/mm] ist eine Nullfolge. Aber [mm] $a_k$ [/mm] Nullfolge folgt i.A. nicht, dass [mm] $\sum a_k$ [/mm] konvergent ist, Gegenbeispiel ist eben die harmonische Reihe. Der Beweis dafür ist nicht sehr schwer, aber auch nicht ganz trivial 
Der findet sich aber in jedem Lehrbuch - die harmonische Reihe ist als Gegenbeispiel einfach zu wichtig :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 Sa 19.07.2008 | | Autor: | Jaykop |
Hallo!
Danke für die schnelle Antwort. Also ich habe mir jetzt den Beweis angesehen, leider fällt er im Buch sehr formal mit wenig Erklärung aus. Letzendlich kann man das nur mit dem Cauchy-verdichtungskriterium, basierend auf dem Majorantenkriterium, welches wieder auf dem Cauchykriterium basiert erklären. Bisher habe ich allerdings keinen Beweis des Cauchy-Verdichtungskriteriums gefunden. Wobei das Cauchy-Kriterium nicht wirklich greift, da ich immer eine Zahl finde die ich aufsummieren kann bei der Reihe
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^\epsilon} [/mm] mit [mm] \epsilon [/mm] > 1 z.B.
Womit die Konvergenz eigentlich nicht möglich wäre.
Mir geht es um eine Anschauliche/Einleuchtende erklärung des Beweises. Oder eine Skizzen davon. Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:57 Sa 19.07.2008 | | Autor: | Framl |
Also der Beweis für die Divergenz der harmonischen Reihe sieht in etwa so aus:
Betrachte die Folge der Partialsummen, also [mm] $s_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$
[/mm]
Betrachte für beliebiges [mm] $n\geq 2^m,m\in\mathbb{N}$:
[/mm]
[mm] $s_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+....+\frac{1}{n} [/mm] $
[mm] $\geq 1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+....+\frac{1}{8}\right)+...+\left(\frac{1}{2^{m-1}+1}+...+\frac{1}{2^m}\right)$
[/mm]
[mm] $\geq 1+\frac{1}{2}+2\cdot \frac{1}{4}+4\cdot \frac{1}{8}+...+2^{m-1}\frac{1}{2^m}=1+\frac{m}{2}$
[/mm]
Für [mm] $m\to \infty [/mm] $ (also auch [mm] $n\to \infty)$ [/mm] geht [mm] $s_n\to \infty$, [/mm] also ist die Folge der Partialsummen unbeschränkt.
Der Beweis für die Konvergenz der Reihe [mm] $\sum \frac{1}{k^\alpha},\:\alpha>1$ [/mm] geht auch über die Partialsummen - nur dass du diese nach oben abschätzt und so eine konvergente Majorante findest. Den genauen Beweis hab ich aber gerade nicht parat.
Gruß Framl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:08 Sa 19.07.2008 | | Autor: | Jaykop |
Ok, danke für den Beweis, den anderen Versuch ich dann selber zu führen oder zu finden.
Gruß
JaykopX
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