Harmonische Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:01 Do 18.10.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo ihr,
wieso lässt sich die harmonische Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty}(-1)^{n+1}/n [/mm] umsortieren zu - [mm] \summe_{i=1}^{\infty}1/2n [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{\infty} [/mm] 1/(2n-1)?
Liebe Grüße
Elefanti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:14 Do 18.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo elefanti!
Unter der "harmonischen Reihe" versteht man normalerweise folgende (nicht-alternierende) Reihe [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n}$ [/mm] .
In diesem Falle hier lassen sich doch zwei Teilreihen für die geraden sowie ungeraden Glieder aufstellen:
[mm] $$\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n+1}}{n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(-1)^{1+1}}{1}+\bruch{(-1)^{2+1}}{2}+\bruch{(-1)^{3+1}}{3}+\bruch{(-1)^{4+1}}{4}+\bruch{(-1)^{5+1}}{5}+...$$
[/mm]
$$= \ [mm] \bruch{+1}{1}+\bruch{-1}{2}+\bruch{+1}{3}+\bruch{-1}{4}+\bruch{+1}{5}+...$$
[/mm]
$$= \ [mm] \bruch{-1}{2}+\bruch{-1}{4}+...+\bruch{+1}{1}+\bruch{+1}{3}+\bruch{+1}{5}+...$$
[/mm]
$$= \ [mm] (-1)*\left(\bruch{1}{2}+\bruch{1}{4}+...\right)+\left(\bruch{1}{1}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{5}+...\right)$$
[/mm]
$$= \ [mm] (-1)*\left(\bruch{1}{2*1}+\bruch{1}{2*2}+...\right)+\left(\bruch{1}{2*1-1}+\bruch{1}{2*2-1}+\bruch{1}{2*3-1}+...\right)$$
[/mm]
$$= \ [mm] (-1)*\left(\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2n}\right)+\left(\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2n-1}\right)$$
[/mm]
$$= \ [mm] -\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2n}+\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2n-1}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 Fr 19.10.2007 | | Autor: | Marc |
Hallo Elefanti,
> wieso lässt sich die harmonische Reihe
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}(-1)^{n+1}/n[/mm] umsortieren zu -
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}1/2n[/mm] + [mm]\summe_{i=1}^{\infty}[/mm]
> 1/(2n-1)?
Eigentlich müsste man hier antworten: Sie lässt sich nicht umsortieren, denn die alternierende harmonische Reihe
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}*\bruch1n$ [/mm] konvergiert (nach dem  Leibniz-Kriterium)
die Umsortierung
[mm] $-\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2n} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2n-1}$
[/mm]
hat allerdings keinen definierten Wert, da der erste Summand [mm] $-\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2n}$ [/mm] im wesentlichen die divergente harmonische Reihe ist und der zweite Summand [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2n-1}$ [/mm] auch.
Es ist also
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}*\bruch1n\red{\not=}-\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2n} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2n-1}$
[/mm]
Deswegen funktioniert die von Dir angesprochene Sortierung nur für endliche Summationen:
[mm] $\summe_{n=1}^{\red{N}} (-1)^{n+1}*\bruch1n=-\summe_{n=1}^{\red{N/2}}\bruch{1}{2n} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{\red{N/2}}\bruch{1}{2n-1}$ [/mm] (falls N gerade)
bzw.
[mm] $\summe_{n=1}^{\red{N}} (-1)^{n+1}*\bruch1n=-\summe_{n=1}^{\red{(N-1)/2}}\bruch{1}{2n} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{\red{(N-1)/2+1}}\bruch{1}{2n-1}$ [/mm] (falls N ungerade)
Viele Grüße,
Marc
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