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| Aufgabe | | Zeigen sie mit vollständiger Induktion [mm] \bruch{n}{2} [/mm] < [mm] \sum_{k=1}^{2^{(n-1)}}\bruch{1}{k} \le [/mm] n |
Hallo Leute, also ich hänge im moment bei dieser Aufgabe ich komme einfach nicht vorwärts. Ich weiss einfach net wie ich das umbauen soll damit ich es beweisen kann.
Aber was mir schon aufgefallen ist :
Die Summe ist eine umgebaute harmonische Reihe.
Nun hatte ich als erste Idee das Ganze über die Steigung der jeweiligen Funktionen zu beweisen. Aber ich denke, dass dies nicht gefragt ist.
Was nun noch interessant ist, ist dass desto höher das n wird desto kleiner werden die Zahlenmengen die addioniert werden. Somit dachte ich dann an einen Grenzwert. Da dieser dann gegen Unendlich geht wird die letzte Zahl der Summe halt 0.
Als allerletzt hab ich nun noch versucht das Ganze schön schematisch zu machen, aber dann frag ich mich wie krieg ich die Summe umgestellt damit dieses [mm] 2^{(n-1)} [/mm] mich nicht mehr nervt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:40 Di 29.04.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
bevor wir zur Aufgabe kommen, kurz ein paar Bemerkungen zu deinem Text :
> Zeigen sie mit vollständiger Induktion [mm]\bruch{n}{2}[/mm] <
> [mm]\sum_{k=1}^{2^{(n-1)}}\bruch{1}{k} \le[/mm] n
>
>
> Hallo Leute, also ich hänge im moment bei dieser Aufgabe
> ich komme einfach nicht vorwärts. Ich weiss einfach net
> wie ich das umbauen soll damit ich es beweisen kann.
> Aber was mir schon aufgefallen ist :
>
> Die Summe ist eine umgebaute harmonische Reihe.
Was heißt "umgebaut" ? Die Summe ist in der Tat eine Partialsumme der harmonischen Reihe (und zwar die [mm] 2^{n-1}-te.
[/mm]
> Nun hatte ich als erste Idee das Ganze über die Steigung
> der jeweiligen Funktionen zu beweisen. Aber ich denke, dass
> dies nicht gefragt ist.
Tatsächlich wird ein recht starker Hinweis auf die zu verwendende Beweismethode gegeben.
> Was nun noch interessant ist, ist dass desto höher das n
> wird desto kleiner werden die Zahlenmengen die addioniert
> werden.
Wie misst du denn hier Zahlenmengen ?
Mit jedem n wird die Anzahl der neu hinzukommenden Summanden größer.
(Den Prozess der Summenbildung bezeichnet man als "addieren".)
> Somit dachte ich dann an einen Grenzwert. Da dieser
> dann gegen Unendlich geht
Ein Grenzwert "geht" nicht, er "ist".
> wird die letzte Zahl der Summe halt 0.
Der letzte Summand deiner Summe ist [mm] \bruch{1}{2^{n-1}} [/mm] und das ist jedenfalls nicht Null.
Du meinst vielleicht, dass der Grenzwert der Folge [mm] (a_n) [/mm] mit [mm] a_n=\bruch{1}{2^{n-1}} [/mm] den Wert Null hat, das stimmt.
Deine Implikation, dass aus der bestimmten Divergenz der Reihe die Konvergenz von [mm] (a_n) [/mm] gegen Null folgt, ist grob falsch. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=0 [/mm] ist eine notwendige, aber keine hinreichende Voraussetzun für die Konvergenz der Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_n.
[/mm]
> Als allerletzt hab ich nun noch versucht das Ganze schön
> schematisch zu machen, aber dann frag ich mich wie krieg
> ich die Summe umgestellt damit dieses [mm] 2^{n-1} [/mm] mich nicht mehr nervt.
>
Wir können hier tatsächlich nach einem Schema vorgehen, das da heißt :
Induktionsanfang : Zeige, dass die Behauptung für n=1 gilt.
Induktionsschluss : Zeige, dass die Behauptung für n+1 richtig ist, wenn sie für n gilt.
Im Schluss gehst du ebenfalls recht schematisch vor : Die neue Summe wird in zwei Summanden aufgeteilt, die alte Summe und die neu hinzukommenden Summanden. : [mm] \sum_{k=1}^{2^n}\bruch{1}{k}=\sum_{k=1}^{2^{n-1}}\bruch{1}{k}+\sum_{k=2^{n-1}+1}^{2^n}\bruch{1}{k}=\sum_{k=1}^{2^{n-1}}\bruch{1}{k}+\sum_{j=1}^{2^{n-1}}\bruch{1}{2^{n-1}+j}
[/mm]
Überlege dir, was du zu zeigen hast und wie du die Summanden der letzten Summe abschätzen kannst, damit das klappt.
Gruß Sax.
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