Harmonisch alternierende Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:35 Mi 19.11.2014 | | Autor: | Skippy05 |
| Aufgabe | Hallo,
Kann mir jemand vielleicht bitte erklären wie man einen Grenzwert bei harmonisch alternierender Reihe berechnet? |
z.B
[mm] $\summe_{i=0}^{infty} (-1)^{n} \bruch {1}{3^{n}}$
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:46 Mi 19.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> Kann mir jemand vielleicht bitte erklären wie man einen
> Grenzwert bei harmonisch alternierender Reihe berechnet?
> z.B
>
> [mm]\summe_{i=0}^{infty} (-1)^{n} \bruch {1}{3^{n}}[/mm]
Du meinst sicher [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \bruch {1}{3^{n}}[/mm]
Das hat aber mit "harmonisch" nix zu tun, sondern mit "geometrisch".
Das ist die geom. Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}q^n [/mm] mit $q=-1/3$
FRED
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Mi 19.11.2014 | | Autor: | Skippy05 |
Hallo Fred,
Vielen Dank für deine Antwort.
Ich meinte tatsächlich das was du aufgeschrieben hast.
Das hier wäre dann harmonisch alternierende Reihe?
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty}$ $(-1)^{n} (\bruch{1}{2^{n}})$
[/mm]
Was ich immer noch nicht ganz verstanden habe, wie man bei den alternierenden Reihen mit [mm] $(-1)^{n}$ [/mm] den Grenzwert berechnet.
Bei geometrischen (nicht alternierenden)Reihen geht es mit dieser Formel:
[mm] $q=\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}$
[/mm]
Sowie hier
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty}$ [/mm] $ [mm] (\bruch{1}{3^{n}})$
[/mm]
dann ist q= [mm] $\bruch [/mm] {3}{2}$
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:52 Mi 19.11.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo Fred,
>
> Vielen Dank für deine Antwort.
> Ich meinte tatsächlich das was du aufgeschrieben hast.
>
> Das hier wäre dann harmonisch alternierende Reihe?
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}[/mm] [mm](-1)^{n} (\bruch{1}{2^{n}})[/mm]
Das ist immer noch eine geometrische Reihe mit q=-0,5.
>
> Was ich immer noch nicht ganz verstanden habe, wie man bei
> den alternierenden Reihen mit [mm](-1)^{n}[/mm] den Grenzwert
> berechnet.
> Bei geometrischen (nicht alternierenden)Reihen geht es mit
> dieser Formel:
>
> [mm]q=\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}[/mm]
>
>
> Sowie hier
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}[/mm] [mm](\bruch{1}{3^{n}})[/mm]
> dann ist q= [mm]\bruch {3}{2}[/mm]
???
Hier ist q=1/3.
>
> Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:59 Mi 19.11.2014 | | Autor: | Skippy05 |
Sorry
[mm] $(\bruch {1}{3})^{n}$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:02 Mi 19.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sorry
>
> [mm](\bruch {1}{3})^{n}[/mm]
[mm] $\sum_{n=0}^\infty (1/3)^n=1/(1-1/3)=3/2$
[/mm]
[mm] $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n(1/3)^n=\sum_{n=0}^\infty (-1/3)^n=1/(1-(-1/3))=3/4$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:58 Mi 19.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Fred,
>
> Vielen Dank für deine Antwort.
> Ich meinte tatsächlich das was du aufgeschrieben hast.
>
> Das hier wäre dann harmonisch alternierende Reihe?
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}[/mm] [mm](-1)^{n} (\bruch{1}{2^{n}})[/mm]
nö, hat Abakus Dir aber auch schon gesagt. Die harmonische Reihe ist diese
[mm] $\sum_{k=1}^\infty 1/k\,.$
[/mm]
Diese divergiert (gegen [mm] $\infty$).
[/mm]
Wenn ich sie alternieren lasse, also etwa
[mm] $\sum_{k=1}^\infty (-1)^k*1/k\,$
[/mm]
betrachte, ist das letztstehende Ding konvergent nach Leibniz.
> Was ich immer noch nicht ganz verstanden habe, wie man bei
> den alternierenden Reihen mit [mm](-1)^{n}[/mm] den Grenzwert
> berechnet.
> Bei geometrischen (nicht alternierenden)Reihen geht es mit
> dieser Formel:
>
> [mm]q=\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}[/mm]
Quatsch. Die Reihe
[mm] $\sum_{k=0}^\infty q^k$
[/mm]
konvergiert genau dann (sogar im Komplexen), wenn $|q| < [mm] 1\,$ [/mm] ist, und im Falle
der Konvergenz ist der Grenzwert
[mm] $\frac{1}{1-q}\,.$
[/mm]
>
> Sowie hier
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}[/mm] [mm](\bruch{1}{3^{n}})[/mm]
> dann ist q= [mm]\bruch {3}{2}[/mm]
[mm] $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{1}{3^n}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{3^n}=\sum_{n=0}^\infty \left(-\frac{1}{3}\right)^n\,.$
[/mm]
Wegen
$|-(1/3)|=1/3 < 1$
ist deren Grenzwert
[mm] $\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}=...$
[/mm]
P.S. Ich hoffe insbesondere, dass hier nicht wieder die Unsitte entsteht,
dass die Grenzwerte des WK oder QK einfach als Reihenwerte interpretiert
werden......
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:04 Mi 19.11.2014 | | Autor: | Skippy05 |
Vielen Dank Marcel,
ich habe alles verstanden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:24 Mi 19.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank Marcel,
gerne.
> ich habe alles verstanden.
Das hört sich gut an!
Gruß,
Marcel
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