Halbwinkelsatz anwenden < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:51 Fr 26.10.2012 | | Autor: | anno |
| Aufgabe | | Ermitteln Sie den Winkel im Punkt A. Die Längen des Dreiecks a=16.85, b=5,35 und c=12,53 sind gegeben. |
Hallo,
ich versuche gerade ein Aufgabe eines Halbwinkelsatzes zu lösen. Allerdings kenne ich mich nur mit rechtwinkligen Dreiecken aus. Bei einem rechtwinkligen Dreieck ist es ja leicht zu erkennen, was die Hypotenuse ist. Ich verstehe aber nicht, wie ich hier die einzelnen Seiten benennen soll bzw. den Winkel im Punkt ausrechnen kann.
Soweit hab eich mal herausgefunden, dass man [mm] s=\bruch{a+b+c}{2}=\bruch{16.85+5,35+12,53}{2}=17,365 [/mm] rechnen muss.
Laut Wikipedia ![[]](/images/popup.gif) Halbwinkelsatz gibt es 3 Winkelsätze.
tan [mm] \alpha =\wurzel{\bruch{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}=\wurzel{\bruch{(17,365-5,35)(17,365-12,53)}{17,365(17,365-5,35)}}=\wurzel{\bruch{12,015*4,835}{208,64075}}=\wurzel{0,278433}
[/mm]
Jetzt kommt bei der Berechnung aber eine sehr kleine Zahl heraus. irgendwie erscheint mir das sehr komisch, da der Winkel im Punkt A ja > 90° ist.
Was mache ich denn falsch?
Zusätzliche hab eich noch das Ganze in GeoGebra kurz visualisiert.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:09 Fr 26.10.2012 | | Autor: | abakus |
> Ermitteln Sie den Winkel im Punkt A. Die Längen des
> Dreiecks a=16.85, b=5,35 und c=12,53 sind gegeben.
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> Hallo,
>
> ich versuche gerade ein Aufgabe eines Halbwinkelsatzes zu
> lösen. Allerdings kenne ich mich nur mit rechtwinkligen
> Dreiecken aus. Bei einem rechtwinkligen Dreieck ist es ja
> leicht zu erkennen, was die Hypotenuse ist. Ich verstehe
> aber nicht, wie ich hier die einzelnen Seiten benennen soll
> bzw. den Winkel im Punkt ausrechnen kann.
>
> Soweit hab eich mal herausgefunden, dass man
> [mm]s=\bruch{a+b+c}{2}=\bruch{16.85+5,35+12,53}{2}=17,365[/mm]
> rechnen muss.
>
Hallo Anno,
da hast du dir ja den schlimmsten aller Rechenwege herausgesucht.
Wende den Kosinussatz an, dann ist die Aufgabe in drei Zeilen erledigt.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 Fr 26.10.2012 | | Autor: | anno |
Wenn ich nun rechne:
cos [mm] \bruch{\alpha}{2}=\wurzel{\bruch{17,365(17,365-16,85)}{5,35*12,53}}=0,1334
[/mm]
arcos [mm] \bruch{\alpha}{2}=82,33389°
[/mm]
[mm] \alpha=82,33389°*2=164,667780°
[/mm]
müsste der Winkel passen, da er > 90° sein muss.
Jetzt stellt sich mir aber die Frage, warum ich hier den Kosinus anwenden kann und ob diese Formeln nur für den Winkel [mm] \alpha [/mm] gelten oder man diese für die anderen Winkel extra umformen muss?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:57 Fr 26.10.2012 | | Autor: | abakus |
> Wenn ich nun rechne:
>
> cos
> [mm]\bruch{\alpha}{2}=\wurzel{\bruch{17,365(17,365-16,85)}{5,35*12,53}}=0,1334[/mm]
Was hast du denn immer mit deinen Halbwinkelformeln?
Nimm [mm]cos \alpha=\bruch{b^2+c^2-a^2}{2bc}[/mm] , und du bist fertig.
>
> arcos [mm]\bruch{\alpha}{2}=82,33389°[/mm]
>
> [mm]\alpha=82,33389°*2=164,667780°[/mm]
>
> müsste der Winkel passen, da er > 90° sein muss.
>
> Jetzt stellt sich mir aber die Frage, warum ich hier den
> Kosinus anwenden kann und ob diese Formeln nur für den
> Winkel [mm]\alpha[/mm] gelten oder man diese für die anderen Winkel
> extra umformen muss?
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:05 Fr 26.10.2012 | | Autor: | anno |
Ok, danke für die Hilfe. Nun habe ich verstanden was du mit Kosinussatz gemeint hast. den kannte ich noch nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Fr 26.10.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Seiten mit den kleinen Buchstabeb liegen immer gegenüber den Punkten mit den großen Buchstaben. hier ist am günstigsten mit dem sin zu arbeiten
2 Fehler: du hast im Nenner s-b statt s-a und im tan [mm] tan(\alpha) [/mm] statt [mm] tan(\alpha/2)
[/mm]
mich wundert, dass du nicht mit den 2 anderen Formeln überprüft hast ,
Gruss leduart
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