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Halbgruppe: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:35 Sa 04.11.2006
Autor: wieZzZel

Aufgabe
Es sei (M,#) eine Halbgruppe mit neutralen Element e. Man beweise: Gibt es zu einem u [mm] \in [/mm] M Elemente x,y [mm] \in [/mm] M, für die x # u = u # y = e gilt, so ist x=y.

Hallo Ihr.

Dieses kleine Aufgabe haben wir als Hausaufgabe aufbekommen.

Bin mir nicht sicher bei der Lösung.

Laut Gleichung muss ja x und y gleich sein.
Weiß nicht, was ich da noch machen muss.
Denke das x und y die Inversen zu u sind.

Also vielen Dank für eure Hilfe und noch ein schönes Wochende.

Tschüß

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Halbgruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:50 Sa 04.11.2006
Autor: piet.t

Hallo,

>  
> Laut Gleichung muss ja x und y gleich sein.

Wieso denn das? Das ist doch gerade zu beweisen, Vorausgesetzt ist ja erstmal nur x#u = u#y. Daraus allein  folgt noch nicht dass x=y ist, denn eine Halbgruppe ist ja weder kommutativ noch muss es irgendwelche Inversen geben - d.h. es könnte durchaus auch verschiedene (!) x und y geben mit x # u  =y # u.
Was die Gleichheit von x und y liefert ist aber die Tatsache, dass beide Produkte jeweils das neutrale Element der Halbgruppe liefern.
Wie kann man nun x=y zeigen? Ich liefere Dir mal den Anfang:
x = x#e = x#(u#y) = (x#u)#y=.....
Ab da darfst Du dann die letzten 2 Schritte fertigrechnen.
Erläuterung:
1. Schritt: Wir verwenden, dass e das neutrale Element ist. Also können wir es einfach dazuschreiben.
2. Schritt: Verwende u#y=e
3. Schritt: Hier kommt ins Spiel, dass wir eine Halbgruppe haben: es gilt also das Assoziativgesetz und wir können umklammern.


>  Weiß nicht, was ich da noch machen muss.
>  Denke das x und y die Inversen zu u sind.

Genauer sind x und y Links- bzw. Rechtsinverses zu u - und die Aufgabe zeigt, dass wenn u gleichzeitig ein Links- und ein Rechtsinverses besitzt diese beiden gleich sein müssen (es also nur ein Inverses gibt).

Gruß

piet

Bezug
                
Bezug
Halbgruppe: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:58 Sa 04.11.2006
Autor: wieZzZel

Hallo piet.t.

Dankeschön, habe es mir nochmal durch den Kopf gehen lassen.
So schwer war es ja nicht, naja jetzt passt es.

Vielen Dank und noch ein schönes Wochenende.

Tschüß

Bezug
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