Halbgrupp.homomor. f(e1)=e2 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:46 Mi 18.11.2009 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Seien [mm] S_{1} [/mm] und [mm] S_{2} [/mm] zwei Halbgruppen mit neutralen Elementen [mm] e_{1}
[/mm]
bzw. [mm] e_{2}. [/mm] Sei weiter [mm] f:S_{1} \to S_{2} [/mm] ein Halbgruppenhomomorphismus.
(a) Zeigen Sie : Ist f surjektiv , so gilt [mm] f(e_{1})=e_{2}.
[/mm]
(b) Zeigen Sie , dass in (a) auf Surjektivität nicht verzichtet werden kann.
(c) Sei nun [mm] f:S_{1} \to S_{2} [/mm] ein Monoid-Homomorphismus.
Zeigen Sie, dass für jedes x [mm] \in S_{1}^{x}gilt: f(x^{-1})=f(x)^{-1}.
[/mm]
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Hallo,
Bemerkung: [mm] S^{x} [/mm] ist die Menge der invertierbaren Elemente von S
(a) habe ich schon gemacht.
zu(b): Ich dachte so, dass wenn man die Äquivalenz
( f surjektiv [mm] \gdw f(e_{1})=e_{2}) [/mm] zeigt, zeigt man , dass falls
[mm] f(e_{1})=e_{2}) [/mm] gelten sollte, immer f surjektiv sein muss. D.h man kann
auf die Surjektivität nicht verzichten.
Das war mein erster Ansatz. Das Problem ist, dass ich aus
[mm] f(e_{1})=e_{2}) [/mm] keinen Weg gefunden habe, dass f surjektiv sein muss.
(Kann man die Rückrichtung doch irgendwie einfach zeigen?)
Deshalb habe ich einen anderen Ansatz genommen.
Ich habe zwei Halbgruppen mit neutralen Elementen konstruiert:
[mm] (\IN_{0} [/mm] , + ,0) , [mm] (\IN_{0} [/mm] , * ,1)
und einen Halbgruppenhomomorphismus:
g: [mm] \IN_{0} \to \IN_{0} [/mm] n [mm] \mapsto [/mm] 0
g ist nicht surjektiv und g(0) [mm] \not= [/mm] 1.
Daraus würde ich folgern, dass falls in solchen Situationen
eine Funktion f nicht surjektiv, dann wird im Allgemeinen [mm] f(e_{1})=e_{2}
[/mm]
nicht gelten.
Kann man so argumentieren?
Danke und Gruss !
Igor
g
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:55 Mi 18.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Igor!
> Seien [mm]S_{1}[/mm] und [mm]S_{2}[/mm] zwei Halbgruppen mit neutralen
> Elementen [mm]e_{1}[/mm]
> bzw. [mm]e_{2}.[/mm] Sei weiter [mm]f:S_{1} \to S_{2}[/mm] ein
> Halbgruppenhomomorphismus.
> (a) Zeigen Sie : Ist f surjektiv , so gilt
> [mm]f(e_{1})=e_{2}.[/mm]
> (b) Zeigen Sie , dass in (a) auf Surjektivität nicht
> verzichtet werden kann.
> (c) Sei nun [mm]f:S_{1} \to S_{2}[/mm] ein Monoid-Homomorphismus.
> Zeigen Sie, dass für jedes x [mm]\in S_{1}^{x}gilt: f(x^{-1})=f(x)^{-1}.[/mm]
>
>
> zu(b): Ich dachte so, dass wenn man die Äquivalenz
> ( f surjektiv [mm]\gdw f(e_{1})=e_{2})[/mm] zeigt, zeigt man , dass
> falls
> [mm]f(e_{1})=e_{2})[/mm] gelten sollte, immer f surjektiv sein muss.
Nun, die Aequivalenz gilt aber nicht.
> D.h man kann
> auf die Surjektivität nicht verzichten.
> Das war mein erster Ansatz. Das Problem ist, dass ich aus
> [mm]f(e_{1})=e_{2})[/mm] keinen Weg gefunden habe, dass f surjektiv
> sein muss.
Muss es ja auch nicht.
> (Kann man die Rückrichtung doch irgendwie einfach
> zeigen?)
> Deshalb habe ich einen anderen Ansatz genommen.
> Ich habe zwei Halbgruppen mit neutralen Elementen
> konstruiert:
> [mm](\IN_{0}[/mm] , + ,0) , [mm](\IN_{0}[/mm] , * ,1)
> und einen Halbgruppenhomomorphismus:
> g: [mm]\IN_{0} \to \IN_{0}[/mm] n [mm]\mapsto[/mm] 0
> g ist nicht surjektiv und g(0) [mm]\not=[/mm] 1.
> Daraus würde ich folgern, dass falls in solchen
> Situationen
> eine Funktion f nicht surjektiv, dann wird im Allgemeinen
> [mm]f(e_{1})=e_{2}[/mm]
> nicht gelten.
Exakt.
> Kann man so argumentieren?
Ja.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Mi 18.11.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Felix !
Warum gilt 0*0=0 ?
Ich habe das einfach angenommen, dass das gilt...
EDIT: vielleicht , weil das ein Axiom der natürlichen Zahlen ist, dass
die Multiplikation mit Null 0 ergibt?
Danke und Gruss !
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:32 Mi 18.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Igor!
> Warum gilt 0*0=0 ?
>
> Ich habe das einfach angenommen, dass das gilt...
>
> EDIT: vielleicht , weil das ein Axiom der natürlichen
> Zahlen ist, dass
> die Multiplikation mit Null 0 ergibt?
Nun, das haengt ganz davon ab wie ihr die natuerlichen Zahlen definiert habt.
Es gilt ja $0 + 0 * 0 = 0 * 0 = 0 * (0 + 0) = 0 * 0 + 0 * 0$. Wegkuerzen von $0 * 0$ ergibt $0 = 0 * 0$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 Mi 18.11.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Felix!
bei Halbgruppen, gibt es keine Inverse . Man kann also nicht wegkürzen , oder ?
Es scheint so, dass das ein Axiom ist : Multiplikation mit Null ergibt immer Null.
Danke und Gruss!
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:39 Mi 18.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Igor!
> bei Halbgruppen, gibt es keine Inverse . Man kann also
> nicht wegkürzen , oder ?
[mm] $(\IN, [/mm] +)$ ist eine kuerzbare Halbgruppe.
> Es scheint so, dass das ein Axiom ist : Multiplikation mit
> Null ergibt immer Null.
Dieses Axiom kann man anhand der anderen Axiome beweisen. (Aber solange du nicht verraetst wie die anderen Axiome aussehen kann ich da nichts genaueres zu sagen...)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Mi 18.11.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Felix!
Kürzbar , ist das in Mathematik genau definiert? Also, was ich von "kürzbar" verstehe, ist, dass man Inverses auf den beiden Seiten
dazu addiert. Da es aber keine gibt, warum soll [mm] (\IN [/mm] , +) kürzbar sein?
Danke und Gruss !
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:01 Mi 18.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Igor!
> Kürzbar , ist das in Mathematik genau definiert?
Das bedeutet: aus $a + b = a + c$ folgt $b = c$.
> Also, was
> ich von "kürzbar" verstehe, ist, dass man Inverses auf den
> beiden Seiten dazu addiert.
Damit zeigt man, dass etwas kuerzbar ist.
> Da es aber keine gibt, warum soll [mm](\IN[/mm] , +)
> kürzbar sein?
Weil man es beweisen kann, ohne mit Inversen zu arbeiten.
Man kann die Formel $a + b = a + c [mm] \Rightarrow [/mm] b = c$ z.B. per Induktion nach $a$ beweisen. Fuer $a = 0$ ist sie klar. Fuer $a > 0$ hat $a$ einen Vorgaenger, nennen wir ihn $a'$; dann gilt $a = a' + 1$ und du hast $a' + 1 + b = a' + 1 + c$. Per Induktionsvoraussetzung folgt $1 + b = 1 + c$. Da der Vorgaenger einer natuerlichen Zahl eindeutig ist folgt $b = c$.
(Das waren jetzt im Prinzip die Peano-Axiome, die ich verwendet habe.)
LG Felix
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