Häufunspunkte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:16 Do 16.11.2006 | | Autor: | peter_d |
| Aufgabe | [mm] $\text{Bestimmen Sie alle Häufungspunkte der rekursiv definierten Folge:}$
[/mm]
[mm] $a_0 [/mm] := 1 ; [mm] a_1 [/mm] := 2 ; [mm] a_{n+2} :=\dfrac{1 + a_{n+1}}{a_n}$ [/mm] |
Hallo, war letztes Mal einmal nicht in der Vorlesung und schon gehts los...
Die Afg steht ja oben.
Die Folge sieht dann so aus: 1 2 3 2 1 1 2 3 2 1 1 2 3 .....
Wo sind da Häufungspunkte?
Immer da, wo zweimal hintereinander die eins auftaucht?
Wenn ja, wie zeigt man so etwas?
Wenn nein, wie zeigt man so etwas? 
Danke und Gruß
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> [mm]\text{Bestimmen Sie alle Häufungspunkte der rekursiv definierten Folge:}[/mm]
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> [mm]a_0 := 1 ; a_1 := 2 ; a_{n+2} :=\dfrac{1 + a_{n+1}}{a_n}[/mm]
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> Hallo, war letztes Mal einmal nicht in der Vorlesung und
> schon gehts los...
>
> Die Afg steht ja oben.
>
> Die Folge sieht dann so aus: 1 2 3 2 1 1 2 3 2 1 1 2 3
> .....
>
> Wo sind da Häufungspunkte?
Hallo,
Du stellst die völlig falsche Frage.
Oder, milder: das kann erst die zweite Frage sein!
Die erste Frage muß lauten:
Was ist eigentlich ein Häufungspunkt?
Es steht in jedem Buch,
aber ich verrate es Dir auch hier:
eine Zahl a heißt Häufungspunkt der Folge [mm] (a_n), [/mm] wenn es eine Teilfolge gibt, die gegen a konvergiert.
> Immer da, wo zweimal hintereinander die eins auftaucht?
s.o.
>
> Wenn ja, wie zeigt man so etwas?
Du sagst den Punkt und eine Teilfolge, die gegen ihn konvergiert.
Bedenke, daß eine Folge mehrere Häufungspunkte haben kann...
(Für eine konvergente Folge gilt das nicht - was Du Dir klarmachen solltest. Nicht für die Aufgabe, sondern allgemein.)
> Wenn nein, wie zeigt man so etwas?
>
Z.B. indem man annimmt, daß es einen gibt, und diese Annahme zum Widerspruch führt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 Do 16.11.2006 | | Autor: | peter_d |
Gut. Danke erstemal.
Geht das erstmal so?
1) Angenommen 3 ist Häufungspunkt.
Die Teilfolge, die gegen 3 konvergiert, wäre $ [mm] n_k [/mm] = 5k+2\ :\ [mm] a_{n_k} [/mm] (2,2,2,2,2,2,2 ...) $
Somit ist 3 Häufungspunkt von [mm] $a_n$.
[/mm]
2) Angenommen 2 ist Häufungspunkt.
Die Teilfolge, die gegen 2 konvergiert, wäre $ [mm] n_k [/mm] = 5k+1\ :\ [mm] a_{n_k} [/mm] (2,2,2,2,2,2,2 ...) $
Somit ist 2 Häufungspunkt von [mm] $a_n$.
[/mm]
3) Angenommen 1 ist Häfungspunkt.
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Dann wäre auch 1 Häufungspunkt.
Somit könnten dann ja alle Punkte dieser Folge Häufungspunkte sein... ????
Danke und Gruß
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> 1) Angenommen 3 ist Häufungspunkt.
> Die Teilfolge, die gegen 3 konvergiert, wäre [mm]n_k = 5k+2\ :\ a_{n_k} (3,3,3,3,3,3 ...)[/mm]
>
> Somit ist 3 Häufungspunkt von [mm]a_n[/mm].
>
> 2) Angenommen 2 ist Häufungspunkt.
> Die Teilfolge, die gegen 2 konvergiert, wäre [mm]n_k = 5k+1\ :\ a_{n_k} (2,2,2,2,2,2,2 ...)[/mm]
>
> Somit ist 2 Häufungspunkt von [mm]a_n[/mm].
>
> 3) Angenommen 1 ist Häfungspunkt. Kann ich als Teilfolge
> eine rekursive Teilfolge angeben. Also:
> Die Teilfolge, die gegen 1 konvergiert, wäre:
> Kann ich eine Folge machen, die jedes 4,5 , 9,10, 14,15
> ... Element beinhaltet, sodass [mm]a_{n_k} (1,1,1,1,1,1,1,1...)[/mm]
> wäre?
> Dann wäre auch 1 Häufungspunkt.
>
> Somit könnten dann ja alle Punkte dieser Folge
> Häufungspunkte sein... ????
Rrrrrrrichtich!!!
1,2,3 sind alle Häufungspunkte.
Schreib nicht: "Angenommen, 3 wäre Häufungspunkt..."
sondern: " 3 ist Häufungspunkt, denn die Teilfolge ..."
Zur 1 :
Hier mußt Du Dir das Leben nicht unnötig schwer machen: eine Teilfolge, die gegen 1 konvergiert, reicht, daß es daneben noch andere gibt, stört keinen.
Eine solche Teilfolge, die man leicht aufschreiben kann, ist [mm] (a_{5k}).
[/mm]
Gruß v. Angela
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