Häufungspunkte von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:09 Do 02.11.2006 | | Autor: | marlei |
| Aufgabe | Man bestimme die Häufungspunkte der Folgen [mm] (x_{n})_n\in\IN [/mm] . Geben Sie zu jedem Haäufungspunkt eine gegen ihn konvergente Teilfolge von [mm] x_{n} [/mm] an.
(a) [mm] x_{n}=(-1)^n*(1 [/mm] + [mm] \bruch{1}{n})
[/mm]
(b) [mm] x_{n}=\bruch{1}{2}(-1)^n+\bruch{1}{3}(-1)^\bruch{n*(n+1)}{2} [/mm] |
Hi zusammen!
Liege ich bei Aufgabe (a) richtig, dass ich 2 Teilfolgen habe, nämlich
[mm] (-1)^n [/mm] und (1 + [mm] \bruch{1}{n})?
[/mm]
Dann wären die Häufungspunkte bei der 1.sten Teilfolge +1 für gerade n und -1 für ungerade n und bei der 2.ten Teilfolge +1 (das ist der Grenzwert)?
Und für Aufgabe (b) habe ich keinen richtigen Ansatz
Danke für eure Hilfe
lg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Bei a) kannst du das Produkt nicht in seine Faktoren zerlegen und jeden Faktor als Teilfolge bezeichnen. Offenbar ist dir der Begriff "Teilfolge" nicht klar.
Eine Teilfolge ist einfach eine Folge, die einen Auszug aus der Originalfolge darstellt. Ist also
[mm]a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7, \ldots[/mm]
die Folge, so ist z.B.
[mm]a_1,a_3,a_5,a_7, \ldots[/mm] (nur ungerade Indizes)
eine Teilfolge. Aber auch
[mm]a_2,a_3,a_5,a_7,a_{11}, \ldots[/mm] (nur Primzahlen als Indizes)
wäre eine Teilfolge. Und viele andere Teilfolgen sind denkbar. Wenn du dir die ganzen Folgenglieder wie oben der Reihe nach hingeschrieben denkst, erhältst du eine Teilfolge, indem du die Folge vom Start bis ins Unendliche durchgehst und dabei einfach irgendwelche Folgenglieder ausläßt (bei der ersten Teilfolge oben wären das z.B. die Folgenglieder mit geraden Indizes, die ausgelassen werden).
Rechne doch in a) die ersten zehn Folgenglieder aus und schreibe sie nacheinander auf. Dann siehst du, daß "die Folge zwei Grenzwerte hat". Die letzte Aussage darf man natürlich nicht wörtlich nehmen - eine Folge kann per Definition höchstens einen Grenzwert haben. Präziser heißt das, daß du in der Folge eine Teilfolge, deren Glieder gegen die eine Zahl, und ebenso eine zweite Teilfolge, deren Glieder gegen die andere Zahl als Grenzwert streben, auswählen kannst. Und diese Grenzwerte der Teilfolgen heißen Häufungspunkte der Ausgangsfolge.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:52 Do 02.11.2006 | | Autor: | luis52 |
Hallo marlei,
deine Vermutung bei (a) ist falsch. Eine Teilfolge ist eine Teilmenge
von [mm] $(x_n)$. [/mm] Deine Vorschlaege sind nicht von der Form, die
durch [mm] $x_n$ [/mm] vorgegeben ist.
[mm] $(x_n)=(-1)^n(1-1/n)$ [/mm] besitzt zwei Haeufungspunkt,
naemlich $-1$ und $+1$. Die Teilfolge [mm] $(x_{2n-1})$ [/mm] konvergiert gegen
$-1$, [mm] $(x_{2n})$ [/mm] konvergiert gegen 1.
hth
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Do 02.11.2006 | | Autor: | marlei |
danke erstmal für eure raschen Antworten :)
ok Aufgabe (a) ist mir so klar. Das ganze habe ich nun auch bei (b) eingesetzt und folgende 4 Häufungspunkte bekommen.
Für die Teilfolge
[mm] [x_{1},x_{5},x_{9},x_{13}...] [/mm] = [mm] -\bruch{5}{6}
[/mm]
Für die Teilfolge
[mm] [x_{2},x_{6},x_{10},x_{14}...] [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}
[/mm]
Für die Teilfolge
[mm] [x_{3},x_{7},x_{11},x_{15}...] [/mm] = [mm] -\bruch{1}{6}
[/mm]
Für die Teilfolge
[mm] [x_{4},x_{8},x_{12},x_{16}...] [/mm] = [mm] \bruch{5}{6}
[/mm]
Ist dass so richtig?
Und wie könnte ich dass in der Form [mm] (x_{....}) [/mm] schreiben ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:50 Do 02.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo marlei
> Das ganze habe ich nun auch
> bei (b) eingesetzt und folgende 4 Häufungspunkte bekommen.
>
> Für die Teilfolge
> [mm][x_{1},x_{5},x_{9},x_{13}...][/mm] = [mm]-\bruch{5}{6}[/mm]
[mm] x_k [/mm] mit k=1mod 4 d.h. wenn du die Schreibweise nicht kennst k lässt bei Division durch 4 den Rest 1
> Für die Teilfolge
> [mm][x_{2},x_{6},x_{10},x_{14}...][/mm] = [mm]\bruch{1}{6}[/mm]
[mm] x_k [/mm] mit k=2 mod 4
entsprechen die 2 letzten
Gruss leduart
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