Häufungspunkte einer Teilmenge < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich soll alle Häufungspunkte der Menge [mm] M:={\bruch{1}{m} + \bruch{i}{n} | m,n \in \IN} [/mm] bestimmen ( M [mm] \subset \IC [/mm] ) und dann entscheiden ob die Menge offen, abgeschlossen oder keins von beiden ist.
Allerdings scheitere ich bereits an der Bestimmung der Häufungspunkte und weiß dabei überhaupt nicht, wie ich vorgehen soll...
Der Häufungspunkt ist ja so definiert, dass es eine Folge in [mm] M\{a} [/mm] (a ist Häufungspunkt) gibt, die gegen a konvergiert. Doch wie bestimme ich nun ALLE Häufungspunkte?!
Kann mir dabei jemand weiterhelfen?
Viele Grüße!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 Do 24.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
nimm ein festes m und lass n laufen, gibt es einen HP
nimm ein n fest und lass m laufen gibt es einen HP
Findest du sie damit?
Gruss leduart
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Vielen Dank erstmal!
1. Fall: m bel., aber fest; n variabel
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{1}{m}+\bruch{i}{n})= \bruch{1}{m}
[/mm]
2. Fall: m variabel; n bel., aber fest
[mm] \limes_{m\rightarrow\infty} (\bruch{1}{m}+\bruch{i}{n})=\bruch{i}{n} [/mm]
Wäre das so richtig?
Somit hätte ich dann als Häufungspunkte 1/m und i/n.
Dann wäre M auch abgeschlossen, weil der Limes ja jeweils auch zu M gehört, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:01 Do 24.11.2011 | | Autor: | Helbig |
> Vielen Dank erstmal!
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> 1. Fall: m bel., aber fest; n variabel
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{1}{m}+\bruch{i}{n})= \bruch{1}{m}[/mm]
>
> 2. Fall: m variabel; n bel., aber fest
> [mm]\limes_{m\rightarrow\infty} (\bruch{1}{m}+\bruch{i}{n})=\bruch{i}{n}[/mm]
> Wäre das so richtig?
>
> Somit hätte ich dann als Häufungspunkte 1/m und i/n.
>
> Dann wäre M auch abgeschlossen, weil der Limes ja jeweils
> auch zu M gehört, oder?
Nein. 1/m und i/n gehören nicht zu M.
Gruß,
Wolfgang
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Kann ich daraus, dass M nicht abgeschlossen ist, folgern, dass M offen ist? Nein, oder? (Ich bekomme das mit dem offen bzw. nicht offen mal wieder nicht hin...)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:25 Do 24.11.2011 | | Autor: | Helbig |
Es gibt Mengen, die weder offen noch abgeschlossen sind und $M$ gehört dazu.
Hierzu mußt Du ein [mm] $z\in [/mm] M$ angeben, so das keine [mm] $\epsilon$-Umgebung $U=U_\epsilon(z)$ [/mm] ganz in $M$ enthalten ist. Dies ist z. B. für $z=1+i$ der Fall.
Hilft das?
Grüße,
Wolfgang
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