Häufungspunkte einer Menge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Welche Häufungspunkte hat die Menge
[mm] $M:=\left\{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\Big|m,n\in\IN\right\}$ [/mm] |
Hallo!
Meine Vermutung ist:
Die Häufungspunkte sind alle Elemente der Menge [mm] \left\{\frac{1}{n}\Big|n\in\IN\right\}\cup\{0\}$.
[/mm]
Beweis-Skizze:
- Da [mm] $\frac{1}{n}\to [/mm] 0$ [mm] (n\to\infty), [/mm] ist 0 HP.
- Für festes [mm] m\in\IN [/mm] hat die Menge M die folgende Gestalt:
[mm] $M_{m}:=\left\{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\Big|n\in\IN\right\}$
[/mm]
Da [mm] $\frac{1}{n}\to [/mm] 0$ [mm] (n\to\infty), [/mm] ist dann [mm] \frac{1}{m} [/mm] HP.
- Sei [mm] $r\in\IR\textbackslash [/mm] M$. Dass r < 0 kein HP sein kann, ist "klar". Aber wie kann ich (schnell) zeigen, dass auch für r > 0 kein HP vorliegt? Oder ist das falsch?
Danke für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:02 Sa 17.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> - Sei [mm]r\in\IR\textbackslash M[/mm]. Dass r < 0 kein HP sein
> kann, ist "klar". Aber wie kann ich (schnell) zeigen, dass
> auch für r > 0 kein HP vorliegt? Oder ist das falsch?
Sei [m]\frac{1}{m_k}+\frac{1}{n_k}\to h[/m] gegeben. Nun betrachte ich für jedes [m]m\in\IN[/m] die Menge [m]N_m[/m], die aus allen [m]n_k[/m] besteht, so dass [m]m_k=m[/m] hält. Man sieht, dass die Menge [m]N_k[/m] nicht für mehr als ein m unenldich sein können (dann hätten wir zwei paarw. verschieden HP!). Ist es für ein [m]N_k [/m] unendlich, konvergiert eine TF gegen so ein m. Seien also alle [m]N_m[/m] endlich. Dann mache ich das gleiche Argument mit n an Stelle von n und erhalte auch all [m]N_n[/m] sind endlich. Sei also [m]0<1/l[/m] gegeben, dann gibt es nur endlich viele Folgenglieder mit [m]1/l<\frac{1}{m_k}+\frac{1}{n_k}[/m], also konvergiert es gegen 0.
SEcki
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Hallo!
Danke für deine Antwort, SEcki!
Allerdings, gebe ich zu, komme ich damit noch nicht zurecht.
> > - Sei [mm]r\in\IR\textbackslash M[/mm]. Dass r < 0 kein HP sein
> > kann, ist "klar". Aber wie kann ich (schnell) zeigen, dass
> > auch für r > 0 kein HP vorliegt? Oder ist das falsch?
> Sei [m]\frac{1}{m_k}+\frac{1}{n_k}\to h[/m] gegeben.
Was meinst du damit?
> Nun betrachte
> ich für jedes [m]m\in\IN[/m] die Menge [m]N_m[/m], die aus allen [m]n_k[/m]
> besteht, so dass [m]m_k=m[/m] hält.
Meinst du die Menge [mm] $N_{m} [/mm] = [mm] \left\{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}\Big| n\in\IN\right\}$
[/mm]
> Man sieht, dass die Menge [m]N_k[/m]
> nicht für mehr als ein m unenldich sein können (dann
> hätten wir zwei paarw. verschieden HP!).
Was ist [mm] N_{k} [/mm] ?
> Ist es für ein
> [m]N_k[/m] unendlich, konvergiert eine TF gegen so ein m. Seien
> also alle [m]N_m[/m] endlich. Dann mache ich das gleiche Argument
> mit n an Stelle von n und erhalte auch all [m]N_n[/m] sind
> endlich. Sei also [m]0<1/l[/m] gegeben, dann gibt es nur endlich
> viele Folgenglieder mit [m]1/l<\frac{1}{m_k}+\frac{1}{n_k}[/m],
> also konvergiert es gegen 0.
Bitte erkläre mir deinen Beweis etwas ausführlicher - sonst verstehe ich ihn nicht :-(
Danke für Eure Mühen!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:49 Sa 17.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> > Sei [m]\frac{1}{m_k}+\frac{1}{n_k}\to h[/m] gegeben.
>
> Was meinst du damit?
Wenn h ein HP ist, dann konvergiert eine Folge aus Elementen der MEnge dagegen, die Folge sei [m](a_k), a_k=\frac{1}{m_k}+\frac{1}{n_k}[/m]. Dadurch sind die [m]m_k,n_k[/m] definiert.
> > Nun betrachte
> > ich für jedes [m]m\in\IN[/m] die Menge [m]N_m[/m], die aus allen [m]n_k[/m]
> > besteht, so dass [m]m_k=m[/m] hält.
>
> Meinst du die Menge [mm]N_{m} = \left\{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}\Big| n\in\IN\right\}[/mm]
Nein, natürlich nicht - das macht überhaupt keinen Sinn. Ich partioniere die Elemente, die in meiner Teilfolge vorkommen.
> > Man sieht, dass die Menge [m]N_k[/m]
> > nicht für mehr als ein m unenldich sein können (dann
> > hätten wir zwei paarw. verschieden HP!).
>
> Was ist [mm]N_{k}[/mm] ?
Ich meinte hier [m]N_m[/m] ...
> Bitte erkläre mir deinen Beweis etwas ausführlicher -
> sonst verstehe ich ihn nicht :-(
Die Idee ist simpel: ich schaue mir an welche Form die Elemente der konvergenten TF haben - gibt es unedlich viele Gleider in der TF, so dass ein m gibt mit [m]a_k=1/m+1/n_k[/m], konvergiert es gegen m, genauso für n anstatt m. Sie l mit [m]0l[/m] (muss man sich wohlmöglich noch ganz genau überlegen - dein Zug!), daher konvergiert [m](a_k)[/m] gegen 0.
SEcki
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Hallo!
Danke wieder für deine Hilfe, SEcki!
> Die Idee ist simpel: ich schaue mir an welche Form die
> Elemente der konvergenten TF haben - gibt es unedlich viele
> Gleider in der TF, so dass ein m gibt mit [m]a_k=1/m+1/n_k[/m],
> konvergiert es gegen m, genauso für n anstatt m. Sie l mit
> [m]0
> [m]a_k>l[/m] (muss man sich wohlmöglich noch ganz genau
> überlegen - dein Zug!)
 Mhh - im Grunde könnte das auch meine Ausgangsfrage gewesen sein - warum ist das so? (Ich glaube es ja ehrlich gesagt nicht einmal, denn wenn ich zum Beispiel
$l = [mm] \pi\4$
[/mm]
wähle, dann könnte es doch sein, dass für alle m, für die [mm] \frac{1}{m} [/mm] < [mm] \pi/4 [/mm] ist, die entsprechenden Mengen [mm] $N_{m}:=\left\{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\Big|n\in\IN\right\}$ [/mm] zusammen genügend Elemente in der Nähe von [mm] \pi/4 [/mm] haben.
...
Vielleicht stehe ich auf dem Schlauch - vielleicht ist aber der Beweis auch nicht ganz einfach..
Bitte um erneute Hilfe!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:57 Sa 17.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Mhh - im Grunde könnte das auch meine Ausgangsfrage
> gewesen sein
Nein, das ist doch viel weiter gedacht.
> warum ist das so? (Ich glaube es ja ehrlich
> gesagt nicht einmal, denn wenn ich zum Beispiel
Weil für fixes m (bzw. n) die Menge [m]\{1/m+1/n_k\}[/m] endlich ist in unserem Fall. Falls jetzt [m]1/m,1/nl/2[/m] oder [m]1/n_k>l/2[/m].
> wähle, dann könnte es doch sein, dass für alle m, für
> die [mm]\frac{1}{m}[/mm] < [mm]\pi/4[/mm] ist, die entsprechenden Mengen
> [mm]N_{m}:=\left\{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\Big|n\in\IN\right\}[/mm]
> zusammen genügend Elemente in der Nähe von [mm]\pi/4[/mm] haben.
> ...
Nein. Schau dir meine Argumente oben noch einmal an - es ist eine Fallunterschiedung!
> Vielleicht stehe ich auf dem Schlauch
Ja.
> - vielleicht ist aber
> der Beweis auch nicht ganz einfach..
Er ist nicht ganz trivial, aber nicht raffiniert.
SEcki
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