Häufungspunkte einer Menge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:14 Sa 01.11.2014 | | Autor: | nullator |
| Aufgabe | | [mm] M:=\{(-1)^n*(1-1/n)| n \in N\} \cup \{-1,1\} [/mm] |
Also es geht um den Beweis von Häufungspunkten einer Menge. Bei obiger Aufgabe weiß ich, dass die Häufungspunkte -1 und 1 sind.
Nur der Beweis macht mir sorgen. Ich müsste zunächst zwei Behauptung beweisen, und zwar das -1 und 1 HP der Menge M sind. Dann müsste ich noch beweisen, dass es keine weiteren HP in M gibt.
Leider finde ich den schriftlichen Beweis sehr unverständlich. Aus einer anderen Aufgabe habe ich den ersten Teil für "0 sei HP" so gesehen, allerdings glaube ich dass ich das sicherlich nicht für meine Mengendefinition übernehmen kann:
Beh: 0 ist HP
Bew: Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0, m [mm] \in [/mm] N, m > [mm] \bruch{1}{\varepsilon}
[/mm]
Dann gilt [mm] y=\bruch{1}{m} \in [/mm] M und [mm] 0
da [mm] \varepsilon [/mm] >0 bel. finden wir in der [mm] \varepsilon [/mm] -Umgebung um die Null ein Element aus M, das von 0 verschieden ist => Beh.
Wie kommt man auf die Werte von [mm] \varepsilon, [/mm] damit der Beweis so überhaupt funktioniert? Und wie gehe ich vor um zu zeigen, dass es keine weiteren HP in M gibt?
Ich bin auch für jede verlinkte Beispielaufgabe dankbar, ich finde leider äußert wenig im Internet zu den formalen Beweisen der HP mit epsilon-Umgebung.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:56 Sa 01.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]M:=\{(-1)^n*(1-1/n)| n \in N\} \cup \{-1,1\}[/mm]
>
> Also es geht um den Beweis von Häufungspunkten einer
> Menge. Bei obiger Aufgabe weiß ich, dass die
> Häufungspunkte -1 und 1 sind.
>
> Nur der Beweis macht mir sorgen. Ich müsste zunächst zwei
> Behauptung beweisen, und zwar das -1 und 1 HP der Menge M
> sind. Dann müsste ich noch beweisen, dass es keine
> weiteren HP in M gibt.
>
> Leider finde ich den schriftlichen Beweis sehr
> unverständlich. Aus einer anderen Aufgabe habe ich den
> ersten Teil für "0 sei HP" so gesehen, allerdings glaube
> ich dass ich das sicherlich nicht für meine
> Mengendefinition übernehmen kann:
>
> Beh: 0 ist HP
> Bew: Sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0, m [mm]\in[/mm] N, m >
> [mm]\bruch{1}{\varepsilon}[/mm]
> Dann gilt [mm]y=\bruch{1}{m} \in[/mm] M und [mm]0
> [mm]\varepsilon[/mm]
> da [mm]\varepsilon[/mm] >0 bel. finden wir in der [mm]\varepsilon[/mm]
> -Umgebung um die Null ein Element aus M, das von 0
> verschieden ist => Beh.
>
> Wie kommt man auf die Werte von [mm]\varepsilon,[/mm] damit der
> Beweis so überhaupt funktioniert?
na, der Beweis ist auch nicht besonders sauber. Dass etwa [mm] $1\,$ [/mm] ein HP der
Menge ist, folgt so:
Zu zeigen ist dann: Für jedes [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ gibt es ein $x [mm] \in [/mm] M [mm] \setminus \{1\}$ [/mm] mit
$|x-1| < [mm] \epsilon\,.$
[/mm]
Sei [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Wenn wir o.E. [mm] $\epsilon \le [/mm] 2$ annehmen, können wir gewünschte $x [mm] \in [/mm] M$
nur mit der Bauart
[mm] $x=x_n=(-1)^n*(1-1/n)$
[/mm]
finden. (Soweit klar?)
Nun soll
[mm] $\left|(-1)^n*(1-1/n)-1\right| [/mm] < [mm] \epsilon$
[/mm]
für wenigstens ein [mm] $n=n(\epsilon) \in \IN$ [/mm] sein. Setzen wir [mm] $n=2m\,$ [/mm] für ein $m [mm] \in \IN$
[/mm]
(also [mm] $n\,$ [/mm] gerade), so folgt
[mm] ($\*$) $|\tfrac{1}{\red{2}*m}| [/mm] < [mm] \epsilon\,.$
[/mm]
(Das Minus im Betrag ist überflüssig, weil...?)
Die Frage ist nun, wie wir die Existenz eines geeigneten $m [mm] \in \IN$ [/mm] begründen
können, dass [mm] ($\*$) [/mm] gilt?
Naja, sei $m [mm] \in \IN$ [/mm] zunächst unbestimmt, wir hoffen, dass es
$|1/(2m)| < [mm] \epsilon$
[/mm]
erfüllt - und sehen nun
$|1/(2m)| < [mm] \epsilon$ $\iff$ [/mm] $1/(2m) < [mm] \epsilon$ $\iff$ [/mm] $m > [mm] \frac{1}{2\epsilon}\,.$
[/mm]
Bei den [mm] $\iff$ [/mm] führen uns also die [mm] $\Longleftarrow$'s [/mm] zum Ziel, wenn wir begründen
können, dass es ein $m [mm] \in \IN$ [/mm] gibt, dass die rechteste Ungleichung erfüllt, also
$m > [mm] \frac{1}{2\epsilon}\,.$
[/mm]
Und das können wir: Gäbe es ein solches nämlich nicht, so wäre [mm] $\IN$ [/mm] nach
oben beschränkt! (D.h. die positive Zahl [mm] $\frac{1}{2\epsilon} [/mm] > 0$ wäre eine obere
Schranke für [mm] $\IN$!)
[/mm]
Analog kannst Du vorgehen, wenn Du zeigen willst, dass auch -1 ein HP der
Menge ist!
Es kann jetzt sein, dass obiger Beweis fehlerhaft ist, oder, dass dort zwei
Fälle in einem behandelt werden (sollen). Letzteres finde ich aber nicht
besonders förderlich, was das Verständnis betrifft.
> Und wie gehe ich vor um zu zeigen, dass es keine weiteren HP in M gibt?
Nimm' an, es gäbe einen HP $h [mm] \in \IR \setminus \{1\}\,.$ [/mm] Beachte, dass $M [mm] \subseteq [/mm] [-1,1]$
ist, dann muss auch $h [mm] \in \overline{[-1,1]}=[-1,1]$ [/mm] ("Überstrich" bedeutet Abschluss!)
sein. Daher kannst Du o.E. $h [mm] \in (-1,\,1)=]-1,\,1[$ [/mm] annehmen - und dann reicht es, zu
zeigen, dass es ein [mm] $\epsilon=\epsilon(h) [/mm] > 0$ so gibt, dass nur endlich viele Elemente
aus [mm] $M\,$ [/mm] in die [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] (die ist bzgl. [mm] $\IR$ [/mm] gemeint!) von [mm] $h\,$ [/mm] fallen können.
(Warum reicht das?)
Tipp:
Etwa
[mm] $\epsilon=\epsilon(h):=(1/2)*\min\{|h-(-1)|,\;|h-1|\}$
[/mm]
wählen. Den Grund kannst Du Dir vielleicht selbst an einer Skizze klarmachen!
(Die Vorüberlegung mit dem Abschluss kann man sich auch sparen, ich finde
nur, dass man so beim Beweis etwas besser den Überblick behält.)
> Ich bin auch für jede verlinkte Beispielaufgabe dankbar,
> ich finde leider äußert wenig im Internet zu den formalen
> Beweisen der HP mit epsilon-Umgebung.
Durchstöbere doch einfach auch mal das Forum bzgl. Stichworten wie
"Häufungspunkt einer Menge" (auch Googel benutzen).
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Sa 01.11.2014 | | Autor: | nullator |
Vielen Dank für die ausführliche und hilfreiche Antwort. Langsam wird die Struktur ein wenig ersichtlicher.
Gleich noch eine Frage, wenn ich das jetzt mit -1 zeigen möchte: Beim $|x-1| < [mm] \epsilon\, [/mm] $ irritiert mich das -1. Sehe ich das richtig, dass hier einfach der zu beweisende HP eingesetzt wird? Im Skript heißt es
$ [mm] |x-x_0| \le b_n [/mm] - [mm] a_n \le \bruch{1}{n}(b_0-a_0)<\varepsilon [/mm] $ für $ [mm] n>\bruch{b_0-a_0}{\varepsilon} [/mm] $,
also ist das [mm] $x_0$ [/mm] der HP?
Für den HP = -1 wäre also
$ [mm] \left|(-1)^n\cdot{}(1-1/n)+1\right| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] $
und entsprechend
$ [mm] |\tfrac{1}{2\cdot{}m+1}| [/mm] < [mm] \epsilon\, [/mm] $ (n ungerade)
daher
$ |1/(2m+1)| < [mm] \epsilon [/mm] $ $ [mm] \iff [/mm] $ $ m > [mm] \frac{1}{2\epsilon}-1\, [/mm] $?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:56 Sa 01.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank für die ausführliche und hilfreiche Antwort.
> Langsam wird die Struktur ein wenig ersichtlicher.
>
> Gleich noch eine Frage, wenn ich das jetzt mit -1 zeigen
> möchte: Beim [mm]|x-1| < \epsilon\,[/mm] irritiert mich das -1.
> Sehe ich das richtig, dass hier einfach der zu beweisende
> HP eingesetzt wird?
ja, [mm] $|x-x_0|$ [/mm] mit [mm] $x_0=1\,.$
[/mm]
> Im Skript heißt es
>
> [mm]|x-x_0| \le b_n - a_n \le \bruch{1}{n}(b_0-a_0)<\varepsilon[/mm]
> für [mm]n>\bruch{b_0-a_0}{\varepsilon} [/mm],
>
> also ist das [mm]x_0[/mm] der HP?
Bei mir ja, was diese [mm] $a_n$ [/mm] und [mm] $b_n$ [/mm] etc. bei Dir im Skript sind, sehe ich so nicht.
Da musst Du schon mehr zu schreiben/zitieren!
> Für den HP = -1 wäre also
> [mm]\left|(-1)^n\cdot{}(1-1/n)+1\right| < \epsilon[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") (da [mm] $-(-1)=+1\,$)
[/mm]
> und entsprechend
> [mm]|\tfrac{1}{2\cdot{}m+1}| < \epsilon\,[/mm] (n ungerade)
>
> daher
> [mm]|1/(2m+1)| < \epsilon[/mm] [mm]\iff[/mm] [mm]m > \frac{1}{2\epsilon}-1\, [/mm]?
Die letzte rechte Seite ist falsch, wir haben
$|1/(2m+1)| < [mm] \epsilon$ $\iff$ [/mm] $2m+1 > [mm] \frac{1}{\epsilon}$ $\iff$ [/mm] $m > [mm] \frac{1}{\epsilon}-\frac{1}{2}$
[/mm]
Es reicht uns also, zu beweisen, dass es ein $m [mm] \in \IN$ [/mm] mit
$m > [mm] \frac{1}{\epsilon}-\frac{1}{2}$
[/mm]
gibt.
(Du kannst auch "den eigentlichen Beweis" dann nochmal *straight forward*
führen - das ist ja typisch, dass man immer nur das präsentiert, was
eigentlich zum Ziel führt. Wie man es gefunden hat, verschweigt man oft.
D.h., Du gehst dann hin und sagst:
Es gibt ein $m [mm] \in \IN$ [/mm] mit
$m > [mm] \frac{1}{\epsilon}-\frac{1}{2}\,.$
[/mm]
Sei also [mm] $m\,$ [/mm] mit diesen Eigenschaften gewählt. Wir setzen nun
[mm] $n:=n(m):=2*m+1\,.$
[/mm]
Dann gilt für
[mm] $x=x_n=(-1)^n*(1-1/n)$
[/mm]
wegen $n [mm] \in \IN$ [/mm] also $x [mm] \in [/mm] M$ und ferner
$|x-(-1)|=|x+1|=... < [mm] \epsilon\,.$)
[/mm]
Die *konstrktiven Rechnungen*, warum Du [mm] $n,m\,$ [/mm] so gewählt hast, wie Du es
getan hast, werden dabei natürlich *verschleiert*. Ändert aber nichts daran,
dass der Beweis so in sich vollkommen korrekt und in sich geschlossen ist.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 So 02.11.2014 | | Autor: | nullator |
Danke! Ist das so als vollständige Antwort in Ordnung, oder muss man da im Regelfall noch mehr argumentieren?
Beh: 1 ist HP
Bew:
Sei [mm] $\varepsilon>0$. [/mm] Setzen wir $n=2m$ für ein [mm] $m\in\IN$ [/mm] so folgt
[mm] $|\bruch{1}{2m}|<\varepsilon \iff \bruch{1}{2m}<\varepsilon \iff [/mm] m > [mm] \bruch{1}{2 \varepsilon}$
[/mm]
Da [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] finden wir in der [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] um 1 ein Element aus M, das von 1 verschieden ist => Beh.
Beh: -1 ist HP
Bew:
Sei [mm] $\varepsilon>0$. [/mm] Setzen wir $n=2m+1$ für ein [mm] $m\in\IN$ [/mm] so folgt
[mm] $|\bruch{1}{2m+1}|<\varepsilon \iff [/mm] 2m+1 > [mm] \varepsilon \iff [/mm] m > [mm] \bruch{1}{\varepsilon}-\bruch{1}{2}$
[/mm]
Da [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] finden wir in der [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] um -1 ein Element aus M, das von -1 verschieden ist => Beh.
Wieso setzen wir n=2m oder n=2m+1? Findet man das durch ausprobieren raus? Oder ist das halt "wie es eben passt"?
Dann noch zum Beweis, dass es keine weiteren HP gibt. In einer Beispielaufgabe wurde mit Fallunterscheidung gearbeitet. Der HP war bei 0 und es war zu zeigen, dass es keine weiteren HP gibt. Entsprechend wurde:
1. Fall: Sei [mm] $x\in\IR$, [/mm] $x<0$. Wähle [mm] \varepsilon...
[/mm]
[...]
Nach Def. sind also alle $x<0$ keine HP.
2. Fall: Sei [mm] $x\in\IR$, [/mm] $x>0$. Wähle [mm] \varepsilon...
[/mm]
[...]
Also ist $x$ kein HP.
=> Also ist 0 der einzige HP der Menge.
Kann ich auf diese Weise auch bei meiner Aufgabe vorgehen? Wenn ich ein $x<-1$ und ein $x>1$ widerlege, muss ich dann auch ein $x=0$ widerlegen? Ich weiß nämlich nicht, wie ich in deinem Beispiel $ [mm] \epsilon=\epsilon(h) [/mm] > 0 $ zeigen könnte. Oder geht das irgendwie auch einfacher?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 So 02.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke! Ist das so als vollständige Antwort in Ordnung,
> oder muss man da im Regelfall noch mehr argumentieren?
>
> Beh: 1 ist HP
> Bew:
>
> Sei [mm]\varepsilon>0[/mm]. Setzen wir [mm]n=2m[/mm] für ein [mm]m\in\IN[/mm] so
> folgt
ne, das folgende folgt nicht einfach, sondern es folgt bei einer geeigneten
Wahl von [mm] $m\,$ [/mm] bzw. dann [mm] $n=2m\,$!
[/mm]
> [mm]|\bruch{1}{2m}|<\varepsilon \iff \bruch{1}{2m}<\varepsilon \iff m > \bruch{1}{2 \varepsilon}[/mm]
>
> Da [mm]\varepsilon>0[/mm] finden wir in der [mm]\varepsilon[/mm]-Umgebung um
> 1 ein Element aus M, das von 1 verschieden ist => Beh.
Ich finde das nicht schön aufgeschrieben - und tatsächlich fehlt mir eigentlich
die Wahl eines geeigneten [mm] $m\,$'s [/mm] und der Grund, warum man ein solches wählen
kann. Schreib's mal in einer anderen Reihenfolge auf:
Sei [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ beliebig, aber fest. Weil [mm] $\frac{1}{2\epsilon} [/mm] > 0$ KEINE obere
Schranke für [mm] $\IN$ [/mm] sein kann, finden wir ein $m [mm] \in \IN$ [/mm] mit
$m > [mm] \frac{1}{2\epsilon}\,.$
[/mm]
Daraus folgt für $n:=2m [mm] \in \IN$
[/mm]
$n=2m > [mm] \frac{1}{\epsilon}\,.$
[/mm]
Letzteres impliziert
[mm] ($\*$) $\epsilon [/mm] > [mm] \frac{1}{n}\,.$
[/mm]
Jetzt setze
[mm] $x:=x_n:=(-1)^n*(1-1/n)\,.$
[/mm]
Begründe $x [mm] \in [/mm] M [mm] \setminus \{1\}$, [/mm] und mit [mm] $(\*)$ [/mm] (und meinetwegen mit [mm] $n=2m\,$)
[/mm]
[mm] $|x_n-1| [/mm] < [mm] \epsilon\,.$
[/mm]
>
> Beh: -1 ist HP
> Bew:
>
> Sei [mm]\varepsilon>0[/mm]. Setzen wir [mm]n=2m+1[/mm] für ein [mm]m\in\IN[/mm] so
> folgt
> [mm]|\bruch{1}{2m+1}|<\varepsilon \iff 2m+1 > \varepsilon \iff m > \bruch{1}{\varepsilon}-\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Da [mm]\varepsilon>0[/mm] finden wir in der [mm]\varepsilon[/mm]-Umgebung um
> -1 ein Element aus M, das von -1 verschieden ist => Beh.
Gleiche Kritik wie oben, und den Beweis *umstrukturieren*.
>
>
>
>
> Wieso setzen wir n=2m oder n=2m+1? Findet man das durch
> ausprobieren raus? Oder ist das halt "wie es eben passt"?
Schau' Dir mal "die Folge"
[mm] ${(x_n)}_{n=1}^\infty$ $:\equiv\,$ ${((-1)^n*(1-1/n))}_{n=1}^\infty$
[/mm]
an.
> Dann noch zum Beweis, dass es keine weiteren HP gibt. In
> einer Beispielaufgabe wurde mit Fallunterscheidung
> gearbeitet. Der HP war bei 0 und es war zu zeigen, dass es
> keine weiteren HP gibt. Entsprechend wurde:
>
> 1. Fall: Sei [mm]x\in\IR[/mm], [mm]x<0[/mm]. Wähle [mm]\varepsilon...[/mm]
> [...]
> Nach Def. sind also alle [mm]x<0[/mm] keine HP.
>
> 2. Fall: Sei [mm]x\in\IR[/mm], [mm]x>0[/mm]. Wähle [mm]\varepsilon...[/mm]
> [...]
> Also ist [mm]x[/mm] kein HP.
>
> => Also ist 0 der einzige HP der Menge.
>
> Kann ich auf diese Weise auch bei meiner Aufgabe vorgehen?
> Wenn ich ein [mm]x<-1[/mm] und ein [mm]x>1[/mm] widerlege, muss ich dann auch
> ein [mm]x=0[/mm] widerlegen? Ich weiß nämlich nicht, wie ich in
> deinem Beispiel [mm]\epsilon=\epsilon(h) > 0[/mm] zeigen könnte.
> Oder geht das irgendwie auch einfacher?
Na, wenn $h [mm] \in \IR \setminus \{-1,1\}$ [/mm] ist, dann ist die Menge
[mm] $\{|h+1|,\;|h-1|\}$
[/mm]
zweielementig, und wegen $h [mm] \notin \{-1,1\}$ [/mm] sind beide Elemente dieser Menge
(echt) positiv.
Wenn Du eine ENDLICHE Menge [mm] $E\,$ [/mm] hast, dann weißt Du doch, dass diese
ein Minimum hat. Dieses Minimum ist ja ein Element aus [mm] $E\,.$ [/mm] Und wenn [mm] $E\,$
[/mm]
nur aus (echt) positiven Elementen besteht, dann auch das zugehörige
Minimum (wie sollte es sonst in [mm] $E\,$ [/mm] liegen können?).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:28 So 02.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
nochmal kurz zu der Frage "Wie kommt man an solche geeigneten [mm] $n\,$?"
[/mm]
Wenn Du [mm] $1\,$ [/mm] als HP von [mm] $M\,$ [/mm] erkennen willst, so willst Du in jeder [mm] $\epsilon$-Umgebung
[/mm]
von [mm] $1\,$ [/mm] einen Punkt aus $M [mm] \setminus \{1\}$ [/mm] finden.
Geeignet sind (bei hinreichend kleinem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$) nur noch Punkte der Bauart
[mm] $x_n=(-1)^n*(1-1/n)\,.$
[/mm]
Wenn Du Dir jetzt
[mm] $|(-1)^n*(1-1/n)-1|$
[/mm]
anguckst, solltest Du mal genauer hingucken:
Was passiert dort, wenn [mm] $n\,$ [/mm] ungerade ist? Und was passiert, wenn [mm] $n\,$ [/mm] gerade
ist?
Wenn Du Dir das klargemacht hast, siehst Du:
[mm] $n\,$ [/mm] ungerade wird ungünstig, [mm] $n\,$ [/mm] gerade sieht besser aus.
Dann noch zu dem Beweis:
Wir suchen ein (noch zunächst) unbestimmtest [mm] $n=2m\,$ [/mm] so, dass
[mm] $|(-1)^n*(1-1/n)-1| [/mm] < [mm] \epsilon$
[/mm]
gilt.
Durch Umformen sieht man, dass diese Bedingung gleichwertig zu
$1/(2m) < [mm] \epsilon$
[/mm]
ist. Wenn wir also ein [mm] $m\,$ [/mm] so finden, dass die letzte Ungleichung gilt, impliziert
sie die Ungleichung, die wir gerne sehen würden.
Die Möglichkeit des Auffindens eines natürlichen [mm] $m\,$'s [/mm] mit
$1/(2m) < [mm] \epsilon$
[/mm]
muss aber natürlich begründet werden. Durch diese Bedingung wird das
[mm] $m\,$ [/mm] von seiner *anfänglichen Unbestimmtheit* natürlich befreit. Dass
wir das oben so gesagt hatten, hatte den Grund, dass wir da noch gar
nicht erkennen konnten, was ein "mögliches Ziel an eine hinreichende Bedingung
für [mm] $m\,$" [/mm] sein wird.
P.S. Immer gut, wenn man *Startschwierigkeiten* hat, ist es auch, sich
zum einen mal ein paar Punkte aus [mm] $M\,$ [/mm] auszurechnen und sich diese
auch mal in einem Zahlenstrahl zu markieren!
Gruß,
Marcel
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