Häufungspunkt in HausdorffRaum < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:01 So 29.10.2006 | | Autor: | Kiki3000 |
| Aufgabe | | Sei X HAUSDORFFSCH, A [mm] \subset [/mm] X und sei p [mm] \in [/mm] X Häufungspunkt von A. Man zeige, dass dann in jeder Umgebung von p unendlich viele Punkt von A liegen |
Hallo!
Ich habe mir zu dieser Aufgabe total viele Gedanken gemacht, aber irgendwie dreht sich das bei mir im Kreis!
Zunächst hab ich mir die Definition vom Hausdorff-Raum angeguckt. Hat man also 2 verschiedene Punkte aus X, existieren jeweils 2 Umgebungen, die sich nicht schneiden.
Wenn also A [mm] \subset [/mm] X ist, liegt die also ganz drin, es existieren also Punkte, die außerhalb von A liegen. Betrachtet man also 2 Punkte a [mm] \in [/mm] A und [mm] x\in X\backslash [/mm] A, dann gibt es also 2 Umgebungen U, V mit a [mm] \in [/mm] U und x [mm] \in [/mm] V mit U [mm] \cap [/mm] V = [mm] \emptyset. [/mm] (Ich weiß nicht, ob das für die Aufgabe entscheidend ist, ich schreib einfach mal alle meine Ideen auf ;) )
Desweiteren hat man einen Häufungspunkt p [mm] \in [/mm] X von A. Ich kann mir da leider nichts drunter vorstellen, denn in der Vorlesung hatten wir ne ganz komische Definition: p [mm] \in [/mm] X heißt Häufungspunkt von A, falls p [mm] \in [/mm] A [mm] \backslash \{ p \} [/mm] . Wie bitte soll man sich das vorstellen? Eine weitere Definition aus Wikipedia fand ich besser: p heißt Häufungspunkt von A, wenn jede Umgebung von p mind. 1 Punkt von A enthält, der ungleich p ist.
So und wie komm ich aus dem ganzen Wirrwarr wieder raus? Jetzt hab ich soviele Infos, dass ich gar nich weiß, was eigentlich entscheidend ist. Und wie ich Verküpfungen zwischen den Dingen schaffe, weiß ich auch nicht. Ich weiß nur, dass ich irgendwie nicht weiter komme ;)
Ich danke euch schonmal für eure Unterstützung.
Lg Kiki
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:14 So 29.10.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Kiki!
> Sei X HAUSDORFFSCH, A [mm]\subset[/mm] X und sei p [mm]\in[/mm] X
> Häufungspunkt von A. Man zeige, dass dann in jeder Umgebung
> von p unendlich viele Punkt von A liegen
> Hallo!
> Ich habe mir zu dieser Aufgabe total viele Gedanken
> gemacht, aber irgendwie dreht sich das bei mir im Kreis!
> Zunächst hab ich mir die Definition vom Hausdorff-Raum
> angeguckt. Hat man also 2 verschiedene Punkte aus X,
> existieren jeweils 2 Umgebungen, die sich nicht schneiden.
>
> Wenn also A [mm]\subset[/mm] X ist, liegt die also ganz drin, es
> existieren also Punkte, die außerhalb von A liegen.
Wieso das? Oder bedeutet $A [mm] \subset [/mm] X$ bei euch $A [mm] \subgsetneqq [/mm] X$?
> Betrachtet man also 2 Punkte a [mm]\in[/mm] A und [mm]x\in X\backslash[/mm]
> A, dann gibt es also 2 Umgebungen U, V mit a [mm]\in[/mm] U und x
> [mm]\in[/mm] V mit U [mm]\cap[/mm] V = [mm]\emptyset.[/mm] (Ich weiß nicht, ob das für
> die Aufgabe entscheidend ist, ich schreib einfach mal alle
> meine Ideen auf ;) )
Es ist fuer die Aufgabe nicht entscheident.
> Desweiteren hat man einen Häufungspunkt p [mm]\in[/mm] X von A. Ich
> kann mir da leider nichts drunter vorstellen, denn in der
> Vorlesung hatten wir ne ganz komische Definition: p [mm]\in[/mm] X
> heißt Häufungspunkt von A, falls p [mm]\in[/mm] A [mm]\backslash \{ p \}[/mm]
Das glaube ich nicht. Du meinst wohl eher: $p [mm] \in \overline{A \setminus \{ p \}}$.
[/mm]
> . Wie bitte soll man sich das vorstellen?
Dazu musst du wissen, was der Abschluss einer Menge ist. Weisst du das?
> Eine weitere
> Definition aus Wikipedia fand ich besser: p heißt
> Häufungspunkt von A, wenn jede Umgebung von p mind. 1 Punkt
> von A enthält, der ungleich p ist.
Die beiden Definitionen sind aequivalent: Ist $p [mm] \in \overline{A \setminus \{ p \}}$ [/mm] und $U$ eine offene Umgebung von $p$, und nehmen wir an, dass $U [mm] \cap [/mm] A = [mm] \{ p \}$ [/mm] ist, dann ist $X [mm] \setminus [/mm] U$ eine abgeschlossene Menge, die $A [mm] \setminus \{ p \}$ [/mm] enthaelt aber nicht $p$, ein Widerspruch zu $p [mm] \in \overline{A \setminus \{ p \}}$.
[/mm]
Enthaelt andersherum jede Umgebung von $p$ mindestens einen anderen Punkt aus $A$, und ist $B [mm] \subseteq [/mm] X$ abgeschlossen mit $A [mm] \setminus \{ p \} \subseteq [/mm] B$, so muss $B$ auch $p$ enthalten: Andernfalls waere $X [mm] \setminus [/mm] B$ eine offene Menge, die $p$ enthaelt, aber keinen Punkt aus $A [mm] \setminus \{ p \}$, [/mm] ein Widerspruch zur Annahme.
> So und wie komm ich aus dem ganzen Wirrwarr wieder raus?
> Jetzt hab ich soviele Infos, dass ich gar nich weiß, was
> eigentlich entscheidend ist. Und wie ich Verküpfungen
> zwischen den Dingen schaffe, weiß ich auch nicht. Ich weiß
> nur, dass ich irgendwie nicht weiter komme ;)
> Ich danke euch schonmal für eure Unterstützung.
Angenommen, es gibt eine Umgebung $O [mm] \subseteq [/mm] X$ von $p$ mit $|O [mm] \cap [/mm] A| < [mm] \infty$. [/mm] Seien [mm] $p_1, \dots, p_n$ [/mm] die anderen Punkte [mm] $\neq [/mm] p$ aus $O [mm] \cap [/mm] A$. Jetzt musst du eine Umgebung von $p$ finden, die keine der [mm] $p_1, \dots, p_n$ [/mm] enthaelt. Wenn du die mit $O$ schneidest, hast du eine Umgebung von $p$, die keinen weiteren Punkt aus $A$ enthaelt, was ein Widerspruch waere.
Und wie machst du das? Wende das Hausdorff-Axiom auf [mm] $p_i$ [/mm] und $p$ an, und benutze dann, dass der Schnitt von endlich vielen Umgebungen eines Punktes wieder eine Umgebung des Punktes ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:27 So 29.10.2006 | | Autor: | Kiki3000 |
Vielen Dank für deine schnelle Antwort, jetzt hab ich das mit dem Hausdorff und den Häufungspunkten auch verstanden ;)
Lg Kiki
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