Häufungspunkt < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:18 Do 23.02.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | [mm] \forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \forall [/mm] N [mm] \in \IN \exists [/mm] m [mm] \ge [/mm] N : [mm] a_m \in U_{\varepsilon} (a)=]a-\epsilon,a+\epsilon[
[/mm]
[mm] (a_m \in U_{\varepsilon} [/mm] (a) ist äquivalent zu [mm] |a_m [/mm] - a| < [mm] \varepsilon
[/mm]
Beweise, genau dann wenn die Proposition gilt ist a ein Häufungspunkt. |
Eine reelle Zahl a nennt sich Häufungspunkt einer Folge [mm] (a_n), [/mm] wenn eine Teilfolge existiert [mm] ((a_n)_k)_{k\in \IN}, [/mm] die gegen a konvergiert.
Wie müssen jetzt eine Teilfolge [mm] ((a_n)_k)_{k\in \IN} [/mm] konstruieren, sodass [mm] n_k [/mm] > [mm] n_{k-1} [/mm] und [mm] \forall [/mm] k [mm] \in \IN [/mm] , [mm] \exists n_k \in \IN [/mm] so dass [mm] (a_n)_k \in U_{\varepsilon}(a)
[/mm]
Ich komme da nicht wirklich weiter.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:38 Do 23.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] >0 [mm]\forall[/mm] N [mm]\in \IN \exists[/mm] m [mm]\ge[/mm] N :
> [mm]a_m \in U_{\varepsilon} (a)=]a-\epsilon,a+\epsilon[[/mm]
> [mm](a_m \in U_{\varepsilon}[/mm]
> (a) ist äquivalent zu [mm]|a_m[/mm] - a| < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Beweise, genau dann wenn die Proposition gilt ist a ein
> Häufungspunkt.
> Eine reelle Zahl a nennt sich Häufungspunkt einer Folge
> [mm](a_n),[/mm] wenn eine Teilfolge existiert [mm]((a_n)_k)_{k\in \IN},[/mm]
> die gegen a konvergiert.
>
>
> Wie müssen jetzt eine Teilfolge [mm]((a_n)_k)_{k\in \IN}[/mm]
> konstruieren, sodass [mm]n_k[/mm] > [mm]n_{k-1}[/mm] und [mm]\forall[/mm] k [mm]\in \IN[/mm] ,
> [mm]\exists n_k \in \IN[/mm] so dass [mm](a_n)_k \in U_{\varepsilon}(a)[/mm]
Das ist Unsinn.
Wir haben
(*) $ [mm] \forall \varepsilon [/mm] $ >0 $ [mm] \forall [/mm] $ N $ [mm] \in \IN \exists [/mm] $ m $ [mm] \ge [/mm] $ N : $ [mm] a_m \in U_{\varepsilon} (a)=]a-\epsilon,a+\epsilon[ [/mm] $
Zu [mm] \varepsilon=1 [/mm] und N=1 ex. ein [mm] n_1 \ge [/mm] N=1 mit
[mm] a_{n_1} \in U_1(a).
[/mm]
Zu [mm] \varepsilon=1/2 [/mm] und [mm] N=n_1+1 [/mm] ex. ein [mm] n_2 \ge [/mm] N mit
[mm] a_{n_2} \in U_{1/2}(a).
[/mm]
Dann ist auch [mm] n_2>n_1.
[/mm]
Zu [mm] \varepsilon=1/3 [/mm] und [mm] N=n_2+1 [/mm] ex. ein [mm] n_3 \ge [/mm] N mit
[mm] a_{n_3} \in U_{1/3}(a).
[/mm]
Dann ist auch [mm] n_3>n_2.
[/mm]
Etc... Induktiv bekommen wir eine Teilfolge [mm] (a_{n_k}) [/mm] von [mm] (a_n) [/mm] mit:
[mm] $|a_{n_k}-a|<1/k$ [/mm] für alle k.
FRED
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> Ich komme da nicht wirklich weiter.
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Do 23.02.2012 | | Autor: | quasimo |
danke,
Aber die Induktion muss man dann schon anschreiben oder?
Du hast ja den Induktionsanfang gemacht.
Ist der Induktionsschritt dann mit
[mm] |(a_n)_{k+1} [/mm] - a| = [mm] |+((a_n)_{k+1}-(a_n)_{k})+(a_n)_{k} [/mm] - a| [mm] \le |+((a_n)_{k+1}-(a_n)_{k})| [/mm] + [mm] |(a_n)_{k} [/mm] - a| [mm] \le |+((a_n)_{k+1}-(a_n)_{k})| [/mm] + 1/k
Bin ich da am falschen weg?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:41 Do 23.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> danke,
> Aber die Induktion muss man dann schon anschreiben oder?
> Du hast ja den Induktionsanfang gemacht.
>
> Ist der Induktionsschritt dann mit
> [mm]|(a_n)_{k+1}[/mm] - a| = [mm]|+((a_n)_{k+1}-(a_n)_{k})+(a_n)_{k}[/mm] -
> a| [mm]\le |+((a_n)_{k+1}-(a_n)_{k})|[/mm] + [mm]|(a_n)_{k}[/mm] - a| [mm]\le |+((a_n)_{k+1}-(a_n)_{k})|[/mm]
> + 1/k
>
> Bin ich da am falschen weg?
Ja
IV. [mm] a_{n_k} [/mm] sei schon konstruiert mit [mm] |a_{n_k}-a|<1/k.
[/mm]
k [mm] \to [/mm] k+1: Zu [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \bruch{1}{k+1} [/mm] und [mm] N:=n_k+1 [/mm] ex. ein [mm] n_{k+1} \ge [/mm] N mit:
[mm] a_{n_{k+1}} \in U_{\bruch{1}{k+1}}(a)
[/mm]
FRED
> LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:25 Do 23.02.2012 | | Autor: | quasimo |
hallo ;)
ah okay, und das reicht so aus?
Liebe Grüße
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