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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:27 Sa 19.11.2005 | | Autor: | kuminitu |
Hallo,
Ich habe hier eine Aufgabe, mit der ich nicht weiterkomme:
Man bestimme die Menge H der Häufungspunkte der
Folgen an) und (bn) mit
an= [mm] \bruch{5}{ x^{2}+5} [/mm] + $ [mm] (-1)^{5n} [/mm] $ + [mm] ($\bruch{-1}{5}$)^{2n}
[/mm]
bn= 1 + $ [mm] -1^{n} [/mm] $ / 1 +$ [mm] \bruch{3}{n^{2}} [/mm] $
n [mm] \in [/mm] N
Ich habe leider keine Ahnung wie ich einen Häufungspunkt bestimme bzw. die Menge aller Häufungspunkte!
Bin über jede Antwort erfreut!
MFG
Kuminitu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 Sa 19.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo kuminitu!
Zerlege diese beiden Folgen doch mal jeweils in Teilfogen für gerade $n_$ und ungerade $n_$ .
Vorher formen wir unsere Folgenvorschrift noch etwas um:
[mm] $a_n [/mm] \ = [mm] \bruch{5}{x^{2}+5} [/mm] + [mm] (-1)^{5n} [/mm] + [mm] \left(\bruch{-1}{5}\right)^{2n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{5}{x^{2}+5} [/mm] + [mm] \left[(-1)^5\right]^n [/mm] + [mm] \left[\left(\bruch{-1}{5}\right)^2\right]^n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{5}{x^{2}+5} [/mm] + [mm] \left[-1\right]^n [/mm] + [mm] \left[\bruch{1}{25}\right]^n$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ a_n=\begin{cases} \bruch{5}{x^2+5} + (+1) + \left(\bruch{1}{25}\right)^n, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ \\ \bruch{5}{x^2+5} + (-1) + \left(\bruch{1}{25}\right)^n, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
Gegen welche Grenzwerte streben denn diese beiden Teilfolgen? Das sind Deine Häufungspunkte.
Die Vorschrift Deine zweiten Folge [mm] $b_n$ [/mm] ist leider kaum zu entziffern.
Aber die Vorgehensweise ist dieselbe ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Sa 19.11.2005 | | Autor: | kuminitu |
Hallo,
vielen dank für deine Antwort!
Ich habe noch eine Frage:
Uns wurde zu beginn gesagt, dass es nur zwei
Häufungspunkte gibt. Nun sollten wir noch
genau beweisen dass es nur 2 gibt und nicht mehr.
Reicht dazu die Fallunterscheidung aus, oder
kann man das auch anders beweisen?
Schon mal vielen dank für dein Bemühem.
MFG
Kuminitu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:26 Sa 19.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kuminitu!
> Nun sollten wir noch
> genau beweisen dass es nur 2 gibt und nicht mehr.
> Reicht dazu die Fallunterscheidung aus, oder
> kann man das auch anders beweisen?
Da wir die Folge in genau zwei Teilfolgen zerlegt haben, die auch gemeinsam alle Folgenglieder umfassen, können auch nur zwei Häufungspunkte existieren.
Gruß
Loddar
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