HEAVISIDE-FUnktion < Laplace-Transformation < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Sa 05.05.2012 | | Autor: | mike1988 |
| Aufgabe | Stellen Sie die folgende Funktion unter Verwendung der HEAVISIDE-Funktion dar und bestimmen Sie die LAPLACE-Transformiert!
[mm] f(t)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } t \le 1\\ t-1, & \mbox{für } 1 < t \le 3 \\ 2, & \mbox{für }t > 3 \end{cases} [/mm] |
Hallo!
Ich scheitere leider schon am Anfang!
Ich schaffe es nicht (bzw. weiß ich nicht wie ich es machen soll) diese stückweis definierte FUnktion als HEAVISIDE-Funktion darzustellen!!
Hätte bitte jemand dazu einen Tipp für mich??
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:55 Sa 05.05.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo mike1988,
die Heaviside-Funktion fungiert als Schalter, den Du als Multiplikator an die Funktionen anhängen kannst. Durch einen Vorfaktor kannst Du noch die Sprunghöhe bestimmen.
Für Deine Teilfunktion t - 1 zwischen 1 und 3 kannst Du folgendermaßen rangehen:
Schalte Sie ein bei t = 1, das enstpricht einem Ausdruck, ich nehme hier mal s für die Heavisidefunktion, von
[mm] (t-1)\cdot s(t-1) [/mm]
Diese Funktion würded immer und ewig weiter ansteigen, also musst Du ab t = 3 eine negative Funktion dazuaddieren, die den Anstieg gerade so kompensiert, dass als Gesamtergebnis eine Null rauskommt. Nun ja, das ist am einfachsten, indem Du die Funktion von sich selbst wieder abziehst, aber nur im Bereich ab t = 3.
Für den Bereich zwischen t = 1 und 3 kann man also schreiben
[mm] (t-1) \cdot s(t-1) - (t-1) \cdot s(t-3) [/mm]
Entsprechend behandelst Du die weiteren Bereiche.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 Mo 07.05.2012 | | Autor: | mike1988 |
Hallo!
Vielen Dank für deine ausführliche Antwort!
Nach deiner Anleitung würde ich folgendes Teilergebniss nach Anwendung der Heaviside-Funktion erhalten:
[mm] f(t)=\begin{cases} H(t-1), & \mbox{für } t \le 1\\ (t-1)*H(t-1)-(t-1)*H(t-3), & \mbox{für } 1 < t \le 3 \\ 2*H(t-3), & \mbox{für }t > 3 \end{cases}
[/mm]
Wenn ich nun die LAPLACE-Transformation anwende erhalte ich:
[mm] F(t)=\begin{cases} \bruch{e^{-s}}{s}, & \mbox{für } s \le 1\\ \bruch{-2*e^{-3*s}*s-e^{-3*s}+e^{-s}}{s^{2}}, & \mbox{für }1 < s \le 3 \\ \bruch{2*e^{-3*s}}{s}, & \mbox{für } s > 3 \end{cases}
[/mm]
Soweit korrekt??
Was kann ich nun damit anfangen?? Ist ja (zumindest meiner Meinung nach) nicht wirklich einfacher geworden....
Lg
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> Hallo!
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> Vielen Dank für deine ausführliche Antwort!
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> Nach deiner Anleitung würde ich folgendes Teilergebniss
> nach Anwendung der Heaviside-Funktion erhalten:
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> [mm]f(t)=\begin{cases} H(t-1), & \mbox{für } t \le 1\\ (t-1)*H(t-1)-(t-1)*H(t-3), & \mbox{für } 1 < t \le 3 \\ 2*H(t-3), & \mbox{für }t > 3 \end{cases}[/mm]
>
> Wenn ich nun die LAPLACE-Transformation anwende erhalte
> ich:
>
> [mm]F(t)=\begin{cases} \bruch{e^{-s}}{s}, & \mbox{für } s \le 1\\ \bruch{-2*e^{-3*s}*s-e^{-3*s}+e^{-s}}{s^{2}}, & \mbox{für }1 < s \le 3 \\ \bruch{2*e^{-3*s}}{s}, & \mbox{für } s > 3 \end{cases}[/mm]
>
> Soweit korrekt??
>
> Was kann ich nun damit anfangen?? Ist ja (zumindest meiner
> Meinung nach) nicht wirklich einfacher geworden....
>
> Lg
hallo,
die benutzung von der heaviside-funktion erlaubt dir, das signal als summe von einzelsignalen hinzuschreiben, statt wie zuvor als abschnittsweise definierte funktion
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Mo 07.05.2012 | | Autor: | mike1988 |
Ahhhh, alles Klar! Vielen Dank!
Stimmt mein Ergebniss wie angegeben??
Besten Dank und Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:20 Mo 07.05.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo mike,
das Prinzip mit der Ausblendeigenschaft der Heavisidefunktion hast Du verstanden. Im Zeitbereich kannst Du, gerade wegen der Ausblendeigenschaft, eine Summe all dieser Terme hinschreiben und diese auch als Summe dann transformieren. Die Terme im Laplacebereich stimmen, der Ausdruck gilt für alle s und nicht für die von Dir angegebenen Bereiche. Das eine ist eine Beschreibung im Zeitbereich, das andere eine Beschreibung im Laplacebereich und diese sind nun mal nicht gleich.
Viele Grüße,
Infinit
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