Gültigk. Summenformel d. Induk < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:23 Mi 31.07.2013 | | Autor: | Rene1 |
| Aufgabe | Beweisen sie die Summenformel für alle [mm] n\in\IN [/mm] mittels vollständiger Induktion. Kürzen sie im Induktionsschritt einen Faktor n+3.
Verwenden sie dabei das Horner Schema.
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{(k+2)*(k+3)*(k+4)} [/mm] = [mm] \bruch{n(n+7)}{24(n+3)(n+4)} [/mm] |
Testen für n=1 funktioniert.
[mm] \bruch{1}{3*4*5} [/mm] = [mm] \bruch{1*8}{24*4*5}
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{(k+2)(k+3)(k+4)} [/mm] = [mm] \bruch{n(n+7)}{24(n+3)(n+4)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+3)(n+4)(n+5)}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{24} [/mm] * [mm] \bruch{n(n+7)(n+5)+24}{(n+3)(n+4)(n+5)}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{24} [/mm] * [mm] \bruch{n^{3}+12n^{2}+35n+24}{(n+3)(n+4)(n+5)}
[/mm]
Bis hierhin sollte noch alles relativ klar sein.
Die vorletzten Schritt ist mir jedoch absolut unklar:
= [mm] \bruch{1}{24} [/mm] * [mm] \bruch{n^{2}+9n+8}{(n+4)(n+5)}
[/mm]
Wie genau und nach welchen Regeln wird hier gekürzt?
Die endgültige Lösung sollte:
[mm] \bruch{1}{24} [/mm] * [mm] \bruch{(n+1)(n+8)}{(n+4)(n+5)}
[/mm]
sein. Wie kommt man nun auf das Hornerschema?
Ich setze in die obere Reihe 1,12,35,24 aus der vorherigen Gleichung ein.
Doch woher nehme ich den Multiplikator?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:35 Mi 31.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen sie die Summenformel für alle [mm]n\in\IN[/mm] mittels
> vollständiger Induktion. Kürzen sie im Induktionsschritt
> einen Faktor n+3.
> Verwenden sie dabei das Horner Schema.
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{(k+2)*(k+3)*(k+4)}[/mm] =
> [mm]\bruch{n(n+7)}{24(n+3)(n+4)}[/mm]
> Testen für n=1 funktioniert.
>
> [mm]\bruch{1}{3*4*5}[/mm] = [mm]\bruch{1*8}{24*4*5}[/mm]
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{(k+2)(k+3)(k+4)}[/mm] =
> [mm]\bruch{n(n+7)}{24(n+3)(n+4)}[/mm] + [mm]\bruch{1}{(n+3)(n+4)(n+5)}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{24}[/mm] * [mm]\bruch{n(n+7)(n+5)+24}{(n+3)(n+4)(n+5)}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{24}[/mm] *
> [mm]\bruch{n^{3}+12n^{2}+35n+24}{(n+3)(n+4)(n+5)}[/mm]
>
> Bis hierhin sollte noch alles relativ klar sein.
> Die vorletzten Schritt ist mir jedoch absolut unklar:
>
> = [mm]\bruch{1}{24}[/mm] * [mm]\bruch{n^{2}+9n+8}{(n+4)(n+5)}[/mm]
>
> Wie genau und nach welchen Regeln wird hier gekürzt?
>
> Die endgültige Lösung sollte:
>
> [mm]\bruch{1}{24}[/mm] * [mm]\bruch{(n+1)(n+8)}{(n+4)(n+5)}[/mm]
>
> sein. Wie kommt man nun auf das Hornerschema?
> Ich setze in die obere Reihe 1,12,35,24 aus der vorherigen
> Gleichung ein.
> Doch woher nehme ich den Multiplikator?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
[mm] n^{3}+12n^{2}+35n+24=(n+1)(n+3)(n+8)
[/mm]
FRED
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