Gruppentheorie < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:09 Mi 11.01.2006 | | Autor: | fanti |
| Aufgabe | Gegeben sei die Gruppe (Z/82)*
a) Wieviel erzeugende Elemente gibt es?
b) Entscheiden Sie, ob die Zahl 7 ein erzeugendes Element ist.
c) Geben Sie nicht-triviale Untergruppen der Ordnung 2 und 4 an. Die Elemente dieser Untergruppen sind dabei explizit anzugeben.
d) Geben Sie zwei erzeugende Elemente der Gruppe (Z/82)* an. |
a) und b) kann ich noch selbst beantworten (man korrigiere mich bitte, falls ich hier falsch liege):
a) da (Z/82)* zyklisch ist: phi( phi( 82 ) ) = 16
b) ord( 7 ) = phi( 82 ) ; 7 ist erzeugendes Element.
Bei c) und d) fehlt mir etwas der Ansatz. Bin für eine ausführliche Erklärung (Lösung mit Lösungsweg) sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:38 Mi 11.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Gegeben sei die Gruppe (Z/82)*
>
> a) Wieviel erzeugende Elemente gibt es?
>
> b) Entscheiden Sie, ob die Zahl 7 ein erzeugendes Element
> ist.
>
> c) Geben Sie nicht-triviale Untergruppen der Ordnung 2 und
> 4 an. Die Elemente dieser Untergruppen sind dabei explizit
> anzugeben.
>
> d) Geben Sie zwei erzeugende Elemente der Gruppe (Z/82)*
> an.
> a) und b) kann ich noch selbst beantworten (man korrigiere
> mich bitte, falls ich hier falsch liege):
>
> a) da (Z/82)* zyklisch ist: phi( phi( 82 ) ) = 16
Exakt.
> b) ord( 7 ) = phi( 82 ) ; 7 ist erzeugendes Element.
Wie kommst du da drauf? Hast du das explizit nachgerechnet?
> Bei c) und d) fehlt mir etwas der Ansatz. Bin für eine
> ausführliche Erklärung (Lösung mit Lösungsweg) sehr
> dankbar.
> c) Geben Sie nicht-triviale Untergruppen der Ordnung 2 und
> 4 an. Die Elemente dieser Untergruppen sind dabei explizit
> anzugeben.
Nun, $(Z/82)^*$ ist zyklisch, womit es zu jedem Teiler von $|(Z/82)^*| = [mm] \phi(82)$ [/mm] genau eine Untergruppe von $(Z/82)^*$ gibt. (Das hattet ihr sicher in der Vorlesung.) Nun ist [mm] $\phi(82) [/mm] = 40$, womit ein Erzeuger von $(Z/82)^*$ die Ordnung 40 hat. Wenn du ihn passend exponentierst, hat er danach die Ordnung 2 oder 4, und somit kannst du die Untergruppen der Ordnung 2 bzw. 4 explizit angeben.
> d) Geben Sie zwei erzeugende Elemente der Gruppe (Z/82)*
> an.
Einen Erzeuger hast du ja (wenn du dich nicht verrechnet hast). Mittels diesem kannst du einen weiteren Erzeuger finden, wenn du dir folgendes ueberlegst: Wenn $g$ endliche Ordnung hat, fuer welche $k [mm] \in \IN$ [/mm] ist $ord(g) = [mm] ord(g^k)$? [/mm] Wenn $g$ ein Erzeuger ist, dann ist ein solches [mm] $g^k$ [/mm] auch ein Erzeuger.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 Mi 11.01.2006 | | Autor: | fanti |
> > Gegeben sei die Gruppe (Z/82)*
> >
> > a) Wieviel erzeugende Elemente gibt es?
> >
> > b) Entscheiden Sie, ob die Zahl 7 ein erzeugendes Element
> > ist.
> >
> > c) Geben Sie nicht-triviale Untergruppen der Ordnung 2 und
> > 4 an. Die Elemente dieser Untergruppen sind dabei explizit
> > anzugeben.
> >
> > d) Geben Sie zwei erzeugende Elemente der Gruppe (Z/82)*
[...]
> > b) ord( 7 ) = phi( 82 ) ; 7 ist erzeugendes Element.
>
> Wie kommst du da drauf? Hast du das explizit
> nachgerechnet?
Aus wikipedia: "Davon ausgehend kann man zeigen, dass die Ordnung jedes Elements einer endlichen Gruppe endlich ist und die Gruppenordnung teilt." (http://de.wikipedia.org/wiki/Gruppentheorie#Ordnung_einer_Gruppe)
d.h. ord( 7 ) | phi( 82 ) ; (ord( a ) teilt phi( n ) ohne Rest)
somit: ord( 7 ) [mm] \varepsilon [/mm] { 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 } ; (Alle natürlichen Zahlen, die 40 ohne Rest teilen)
Und dann durch probieren (gibt es einen schöneren Weg, als jeden möglichen Expontenten zu testen, ob [mm] "a^i \equiv [/mm] 1 (mod n) ; mit i [mm] \varepsilon [/mm] Z/phi(n))* ):
[mm] 7^{1} \equiv [/mm] 7 [mm] \not= [/mm] 1 ( mod 82 )
[mm] 7^{2} \equiv [/mm] 49 [mm] \not= [/mm] 1 ( mod 82 )
[mm] 7^{4} [/mm] = [mm] 7^{2} [/mm] * [mm] 7^{2} \equiv 49^{2} \equiv [/mm] 23 [mm] \not= [/mm] 1 ( mod 82 )
[mm] 7^{5} [/mm] = [mm] 7^{4} [/mm] * 7 [mm] \equiv 49^{2} [/mm] * 7 [mm] \equiv [/mm] 79 [mm] \not= [/mm] 1 ( mod 82 )
[mm] 7^{8} [/mm] = [mm] 7^{4} [/mm] * [mm] 7^{4} \equiv 23^{2} \equiv [/mm] 37 [mm] \not= [/mm] 1 ( mod 82 )
[mm] 7^{10} [/mm] = [mm] 7^{5} [/mm] * [mm] 7^{5} \equiv 79^{2} \equiv [/mm] 9 [mm] \not= [/mm] 1 ( mod 82 )
[mm] 7^{20} [/mm] = [mm] 7^{10} [/mm] * [mm] 7^{10} \equiv 9^{2} \equiv [/mm] 81 [mm] \not= [/mm] 1 ( mod 82 )
[mm] 7^{40} [/mm] = [mm] 7^{20} [/mm] * [mm] 7^{20} \equiv 81^{2} \equiv [/mm] 1 ( mod 82 )
ord( 7 ) = phi( 40 ) ; 7 ist erzeugendes Element
Ist das so überhaupt korrekt und als Lösungsweg ausreichend?
[...]
Und bitte seht mir nach, dass ich den Formeleditor noch nicht vollständig beherrsche, ich bin hier ganz neu 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:11 Mi 11.01.2006 | | Autor: | felixf |
> > > b) ord( 7 ) = phi( 82 ) ; 7 ist erzeugendes Element.
> >
> > Wie kommst du da drauf? Hast du das explizit
> > nachgerechnet?
>
> Aus wikipedia: "Davon ausgehend kann man zeigen, dass die
> Ordnung jedes Elements einer endlichen Gruppe endlich ist
> und die Gruppenordnung teilt."
Das folgt aus dem Satz von Lagrange
> (http://de.wikipedia.org/wiki/Gruppentheorie#Ordnung_einer_Gruppe)
>
> d.h. ord( 7 ) | phi( 82 ) ; (ord( a ) teilt phi( n ) ohne
> Rest)
>
> somit: ord( 7 ) [mm]\varepsilon[/mm] { 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 } ;
> (Alle natürlichen Zahlen, die 40 ohne Rest teilen)
>
> Und dann durch probieren (gibt es einen schöneren Weg, als
> jeden möglichen Expontenten zu testen, ob [mm]a^i \equiv[/mm] 1
> (mod n) ; mit i [mm]\varepsilon[/mm] Z/phi(n))* ):
Ja es gibt einen schoeneren Weg, es reicht, wenn du dich auf alle Exponenten der Form 40/p beschraenkst, wobei p alle Primzahlen durchlaeuft, die p teilen. (Hier also 2 und 5, also brauchst du nur die Exponenten 20 und 8 zu testen.)
> [...]
>
> ord( 7 ) = phi( 40 ) ; 7 ist erzeugendes Element
>
> Ist das so überhaupt korrekt und als Lösungsweg
> ausreichend?
Ich hab das jetzt nicht im einzelnden nachgerechnet; wenn du dich nicht verrechnet hast ist alles korrekt.
LG Felix
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 17:53 Mi 11.01.2006 | | Autor: | fanti |
> > Gegeben sei die Gruppe (Z/82)*
Sorry, wenn ich hier etwas nervig nachfragen muss, aber so ganz klar ist mir das alles noch nicht
[...]
> > c) Geben Sie nicht-triviale Untergruppen der Ordnung 2 und
> > 4 an. Die Elemente dieser Untergruppen sind dabei explizit
> > anzugeben.
>
> Nun, [mm](Z/82)^*[/mm] ist zyklisch, womit es zu jedem Teiler von
> [mm]|(Z/82)^*| = \phi(82)[/mm] genau eine Untergruppe von [mm](Z/82)^*[/mm]
> gibt. (Das hattet ihr sicher in der Vorlesung.) Nun ist
> [mm]\phi(82) = 40[/mm], womit ein Erzeuger von [mm](Z/82)^*[/mm] die Ordnung
> 40 hat. Wenn du ihn passend exponentierst, hat er danach
> die Ordnung 2 oder 4, und somit kannst du die Untergruppen
> der Ordnung 2 bzw. 4 explizit angeben.
Gesucht sei eine passende Untergruppe der Ordnung 2 und 4:
Kann man wie folgt vorgehen?
Gesucht ist ein a, für das gilt:
[mm] a^2[/mm] [mm]\equiv[/mm] 1 (mod 82)
bzw.
[mm] a^4[/mm] [mm]\equiv[/mm] 1 (mod 82)
(Ist der Ansatz soweit überhaupt richtig?)
Ich würde spontan alle Zahlen von 1 < a < 82 "probieren". Im Falle von [mm] a^4 [/mm] werde ich bei 9 fündig. Daraus ergibt sich:
<9> = { 1, 9, 73, 81 }
Für 73 ist die Bedingung [mm] 74^4[/mm] [mm]\equiv[/mm] 1 (mod 82) ebenfalls erfüllt? Das wäre somit ein weiterer Erzeuger der gleichen (???) Untergruppe der Ordnung 4?
<73> = { 1, 9, 73, 81 }
Für [mm] a^2[/mm] [mm]\equiv[/mm] 1 (mod 82) lässt sich (für mich im Moment auch nur durch "probieren" und wenig systematischem Vorgehen) a=81 finden:
a=-1 wäre für [mm] a^2[/mm] [mm]\equiv[/mm] 1 (mod 82)
ebenfalls möglich?
Sind negative a überhaupt zulässig und in (Z/82)* enthalten?
Wie findet man effektiv (ohne probieren) passende a? Oder habe ich hier schon etwas grundlegend falsch verstanden?
> > d) Geben Sie zwei erzeugende Elemente der Gruppe (Z/82)*
> > an.
>
> Einen Erzeuger hast du ja (wenn du dich nicht verrechnet
> hast). Mittels diesem kannst du einen weiteren Erzeuger
> finden, wenn du dir folgendes ueberlegst: Wenn [mm]g[/mm] endliche
> Ordnung hat, fuer welche [mm]k \in \IN[/mm] ist [mm]ord(g) = ord(g^k)[/mm]?
> Wenn [mm]g[/mm] ein Erzeuger ist, dann ist ein solches [mm]g^k[/mm] auch ein
> Erzeuger.
Wenn die Gruppe zyklisch ist, ist hier ist ein [mm]g \varepsilon G[/mm] gesucht mit [mm] = G[/mm]?
Ein Erzeuger davon war aus Teilaufgabe b) 7, da |<7>| = phi(82) ergab?
Falls das so stimmt, ist mir der Rest klar.
Und bitte nicht erschrecken, ein paar grundsätzliche Dinge (bitte korrigieren, wenn ich falsch liege!!):
Die Ordnung einer Gruppe G [mm]ord(G)[/mm] entspricht der Anzahl der Elemente dieser Gruppe. Wird einfach berechnet durch phi(m) für (Z/mZ)* und entspricht |G|?
Die Ordnung eines Gruppenelements ordG(a) (man denke sich das G tiefstehend) entspricht der Anzahl der Elemente der Untergruppe <a>, die von a erzeugt wird?
Und schonmal vielen Dank für die Antworten bisher!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:05 Do 12.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Hier mal ein paar Fakten, die den Großteil deiner Fragen bereits beantworten:
Ist $G$ eine zyklische Gruppe der Ordnung $n$, dann gibt es zu jedem Teiler $d$ von $n$ genau eine Untergruppe der Ordnung $d$.
Man bekommt die Erzeugenden der Untergruppen leicht aus einem Erzeugenden $a$ der zyklischen Gruppe selbst über die Beziehung
[mm] $ord(a^m) [/mm] = [mm] \frac{n}{ggT(n,m)}$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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