Gruppenring halbeinfach < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Sei $k$ ein halbeinfacher (möglicherweise nichtkommutativer) Ring und $G$ eine endliche Gruppe, deren Ordnung eine Einheit in $k$ ist. Dann ist der Gruppenring $k[G]$ wieder halbeinfach.
[Beweis: Sei $M$ ein $k[G]$-Modul. Nach der universellen Eigenschaft ist das dasselbe, wie ein $k$-Modul $M'$ mit $G$-Wirkung; hierbei ist $M'$ durch den unterliegenden $k$-Modul von $M$ gegeben. Untermoduln von $M$ entsprechen $G$-invarianten Untermoduln von $M'$. Sei [mm] $N\le [/mm] M$ ein Untermodul. Da $k$ halbeinfach ist, spaltet die Einbettung [mm] $N'\hookrightarrow [/mm] M'$, etwa durch eine $k$-lineare Projektion $p'$. Durch Durchschnittsbildung
[mm] $p=\frac{1}{\operatorname{ord}G}\sum_{g\in G}g^{-1}p'g$
[/mm]
erhält man eine $k[G]$-lineare Abbildung, welche die Einbettung von $k[G]$-Moduln [mm] $N\hookrightarrow [/mm] M$ spaltet.]
Frage: Ist meine Voraussetzung eine notwendige Bedingung dafür, dass $k[G]$ halbeinfach ist?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:54 Mi 27.01.2016 | | Autor: | hippias |
Auf die schnelle ist dies meiner Einschätzung nach notwendig. Ich betrachte den $k$-Homo. [mm] $\phi:k[G]\to [/mm] k$, der [mm] $g\in [/mm] G$ auf $1$ abbildet, dessen Kern ein $G$-Modul ist. Ich meine, sein $G$-Komplement ist [mm] $k(\sum_{g\in G} [/mm] g)$. Da [mm] $\phi$ [/mm] surjektiv ist, folgt, dass $|G|1$ in $k$ invertierbar ist.
Um zu zeigen, dass auch $k$ halbeinfach ist, würde ich den Untermodul [mm] $J(\sum_{g\in G} g)\leq [/mm] k[G]$, wobei $J$ ein Ideal von $k$ ist, und sein Komplement betrachten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mi 27.01.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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