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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:43 Mo 30.05.2005 | | Autor: | Peti |
Hallo!
Was ist ein Gruppenring? Ein Ring, dessen Elemente Gruppen sind?
Wie zeigt man, dass ein Gruppenring Z(G) mit G ungleich (e) stets Nullteiler hat?
Vielen Dank
Gruß P
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 17:15 Mi 01.06.2005 | | Autor: | Peti |
Hallo!
Beim Nachweis von Nullteilern muss doch nachgewiesen werden, dass Elemente A,B [mm] \in \IZ[G] [/mm] existieren, für die gilt: A *B=0
Soll nun gezeigt werden, dass IZ[G] stets Nullteiler hat, muss ich die Existenz von midestens einen zeigen.
Für einen Gruppenring IZ[G] gilt: er ist die Menge aller Abbildungen von
f:G->IZ. In der Definition steht, diese Abbildung kann an endlich vielen Stellen von 0 verschiedene Werte annehmen. Habe ich richtig verstanden, dass es mit Sicherheit auch eine Abbildung auf die 0 gibt? Denn ein Ring besteht doch unter anderem aus einer abelschen Gruppe (R,+), die auf jeden Fall die 0 enthält?
Also gibt es in einem Gruppenring mindesten eine Abbildung auf die 0 (also auf das neutrale Element bzgl. der Addition).
Folgt daraus:
( [mm] \summe_{g \inG} A_{g}g) [/mm] * ( [mm] \summe_{h \inG} B_{h}h)=
[/mm]
[mm] \summe_{gh \inG}( \summe_{gh \inG}A_{g} B_{h}gh)
[/mm]
Da ein Element [mm] a_{g} [/mm] aus [mm] A_{g} [/mm] existiert, für das gilt, f(a)=0
[mm] \Rightarrow( \summe_{g \inG} [/mm] f(a)g
=( [mm] \summe_{g \inG} [/mm] 0 g=0
[mm] \Rightarrow [/mm] ( [mm] \summe_{g \inG} A_{g}g)=0
[/mm]
Das gleiche gilt auch für B [mm] \in [/mm] G.
[mm] \Rightarrow [/mm] Die Konvention oder Faltung wird 0.
[mm] \Rightarrow [/mm] A und B sind Nullteiler.
Stimmt das so?
Die Frage ist natürlich noch, ob es bestimmt eine Abbildung auf die 0 gibt??
Herzlichen Dank für deine Hilfe, komme alleine leider nicht so gut voran!
Liebe Grüße P
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:49 Fr 03.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Peti!
Leider ist es mir nicht gelungen die Aufgabe zu lösen. Bist du dir sicher, dass auch unendliche Gruppen zugelassen sind? (Für endliche Gruppen ist es mir klar, denn dort gilt ja: [mm] $(e+g+\ldots+g^{ord(g)-1})(e-g)=0 \in \IZ(G)$.)
[/mm]
Könntest du die Lösung bitte hier reinstellen, sobald du sie hast? Würde mich interessieren, Danke. 
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:41 Mo 06.06.2005 | | Autor: | Peti |
Hallo!
Ich habe eine Lösung zu dieser Aufgabe gefunden:
Sei e [mm] \not=h \inG
[/mm]
Dann gilt:
(h-1) * [mm] \summe_{g \inG}g=0.
[/mm]
Also sind h-1, als auch [mm] \summe_{g \inG}g [/mm] Nullteiler.
Viele Grüße, und vielen herzlichen Dank für deine Hilfe!!
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