Gruppenpräsentation < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:10 Fr 20.11.2015 | | Autor: | valoo |
Guten Tag!
Es geht um folgendes Problem: Ich habe eine Präsentation einer Gruppe gegeben mit Erzeugern und Relationen und möchte andere Relationen zeigen. Gibt es da irgendeine schlaue Herangehensweise oder ist das nur Trial & Error?
Zum Beispiel:
$ G = < U, V, W | [mm] U^{2} [/mm] = [mm] V^{2} [/mm] = [mm] W^{2} [/mm] = 1 , U W = W U , ( U V [mm] )^{3} [/mm] = ( V W [mm] )^{3} [/mm] = 1 > $
Und zu ziegen wäre, dass das Element $ U W V $ Ordnung 4 hat (oder 2), aber wahrscheinlich eher 4. Also man kann das ja erstmal hinschreiben
$ ( U W V [mm] )^{4} [/mm] = U W V U W V U W V U W V $
und dann kann man eben die gegebenen Relationen verwenden, aber das einzige, was ich hier erstmal sehe ist, dass $ U $ und $ W $ kommutieren. Damit kann man sie hier und da vertauschen, aber irgendwie komm ich so nicht weiter und es bleibt einfach unübersehbar, ohne dass sich da etwas wegkürzen würde...
LG valoo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:53 Sa 21.11.2015 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Es geht um folgendes Problem: Ich habe eine Präsentation
> einer Gruppe gegeben mit Erzeugern und Relationen und
> möchte andere Relationen zeigen. Gibt es da irgendeine
> schlaue Herangehensweise oder ist das nur Trial & Error?
>
> Zum Beispiel:
>
> [mm]G = < U, V, W | U^{2} = V^{2} = W^{2} = 1 , U W = W U , ( U V )^{3} = ( V W )^{3} = 1 >[/mm]
Dann ist z. B. auch [mm] (UV)^{2} [/mm] = [mm] (UV)^{-1} [/mm] = [mm] V^{-1}U^{-1} [/mm] = VU und [mm] (VW)^{2} [/mm] = WV. Ebenso ist [mm] (VU)^{2} [/mm] = UV und [mm] (WV)^{2} [/mm] = VW.
>
> Und zu ziegen wäre, dass das Element [mm]U W V[/mm] Ordnung 4 hat
> (oder 2), aber wahrscheinlich eher 4. Also man kann das ja
> erstmal hinschreiben
>
> [mm]( U W V )^{4} = U W V U W V U W V U W V[/mm]
> und dann kann man eben die gegebenen Relationen verwenden,
> aber das einzige, was ich hier erstmal sehe ist, dass [mm]U[/mm] und
> [mm]W [/mm] kommutieren. Damit kann man sie hier und da vertauschen,
> aber irgendwie komm ich so nicht weiter und es bleibt
> einfach unübersehbar, ohne dass sich da etwas wegkürzen
> würde...
Kommst du damit weiter?
Gruß aus HH
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:50 So 22.11.2015 | | Autor: | valoo |
Ja, danke, ich habe es jetzt irgendwie hingekriegt. :)
Aber das war ein einziges Durcheinander und ein Hin und Her, bis da endlich was stand, was man alles wegkürzen konnte.
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Hallo,
statler hat ja schon einen Tipp gegeben (eigentlich hatte ich das gestern Abend auch schon vor, habe es dann aber irgendwie nicht hinbekommen :D ), deshalb kann ich mich der allgemeinen Frage widmen.
Es ist nicht der Fall, dass man völlig machtlos dasteht. Die algorithmische Gruppentheorie hat da schon einiges zu bieten. Es gibt auch einige Computerprogramme, die einigermaßen souverän mit Gruppenpräsentationen rechnen können. Dennoch gibt es kein wirklich einfaches Rezept, und erst recht keines, das immer zum Ziel führt. Es ist schon Erfahrung und Kreativität, die man hier braucht.
Hinweisen sollte man auf das Wortproblem. Es ist beweisbar der Fall, dass die Aufgabe, von zwei gegebenen Elementen einer Gruppenpräsentation zu testen, ob diese übereinstimmen, im allgemeinen algorithmisch unlösbar ist.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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