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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:48 Mo 21.11.2011 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Es sei die Abbildung $ [mm] \phi:\IC^\times \to \IR^\times, [/mm] z=x+iy [mm] \mapsto |z|=\wurzel{x^2+y^2} [/mm] $ gegeben, hierbei bezeichnet $ [mm] \IK^\times=(K\backslash\{0\},*) [/mm] $ die multiplikative Gruppe des Körpers [mm] \IK.
[/mm]
(i) Zeigen Sie, dass [mm] \phi [/mm] ein Gruppenhomomorphismus ist.
(ii) Bestimmen Sie Kern und Bild von [mm] \phi.
[/mm]
(iii) Zeigen Sie, dass für jede nicht-negative, reelle Zahl r [mm] \in \IR_{\ge0} [/mm] gilt [mm] \phi^{-1}(r)=r*kern(\phi) [/mm] (die Linksnebenklasse von r zu [mm] kern(\phi)\le \IC^\times). [/mm] Begründen Sie, dass man so alle Linksnebenklassen erhält und beschreiben Sie die Klassen geometrisch. |
Wäre nett wenn jemand was dazu sagen könnte. :)
(i) War kein Problem.
(ii) Hier weiss ich nicht genau, was von mir verlangt wird. Habe da noch ein paar Verständnisprobleme.
Der Kern von [mm] \phi [/mm] sind alle Elemente $z [mm] \in \IC^\times$ [/mm] die auf das Einselement $e [mm] \in R^\times$ [/mm] abgebildet werden.
Das wären doch genau die $z$, für die gilt [mm] Re(z)^2+Im(z)^2=1. [/mm] Kann bzw soll ich meinen Kern dann so angeben?:
[mm] ker(\phi)=\{z\in\IC \ | \ Re(z)^2+Im(z)^2=1\}
[/mm]
Und wie sieht mein Bild aus? Es ist ja [mm] im(\phi)=\{ \phi(z) \ | \ z\in\IC \} [/mm] aber so kann ich doch alle positiven reellen Zahlen darstellen?! Also [mm] im(\phi)=\{r\in\IR^\times | r > 0 \} [/mm] ??
..lieber mal dumm fragen, als falsch lernen. :)
(iii) Folgendes habe ich überlegt:
Für r [mm] \in \IR_{\ge0} [/mm] und x [mm] \in \IR^\times [/mm] gilt ja: [mm] \phi^{-1}(r*x)=r*\phi^{-1}(x) [/mm]
Dann ist [mm] \phi^{-1}(r)=\phi^{-1}(r*e)=r*\phi^{-1}(e)=r*kern(\phi)
[/mm]
denn [mm] \phi^{-1}(e) [/mm] ist ja gerade nach Definition der Kern. Soweit ok?
Bei der Begründung und Beschreibung komme ich auf keinen grünen Zweig.
Kann mir da jemand ein paar Hinweise zukommen lassen?
Dankeschön schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:10 Mo 21.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Es sei die Abbildung [mm]\phi:\IC^\times \to \IR^\times, z=x+iy \mapsto |z|=\wurzel{x^2+y^2}[/mm]
> gegeben, hierbei bezeichnet [mm]\IK^\times=(K\backslash\{0\},*)[/mm]
> die multiplikative Gruppe des Körpers [mm]\IK.[/mm]
>
> (i) Zeigen Sie, dass [mm]\phi[/mm] ein Gruppenhomomorphismus ist.
>
> (ii) Bestimmen Sie Kern und Bild von [mm]\phi.[/mm]
>
> (iii) Zeigen Sie, dass für jede nicht-negative, reelle
> Zahl r [mm]\in \IR_{\ge0}[/mm] gilt [mm]\phi^{-1}(r)=r*kern(\phi)[/mm] (die
> Linksnebenklasse von r zu [mm]kern(\phi)\le \IC^\times).[/mm]
> Begründen Sie, dass man so alle Linksnebenklassen erhält
> und beschreiben Sie die Klassen geometrisch.
> Wäre nett wenn jemand was dazu sagen könnte. :)
>
> (i) War kein Problem.
>
> (ii) Hier weiss ich nicht genau, was von mir verlangt wird.
> Habe da noch ein paar Verständnisprobleme.
>
> Der Kern von [mm]\phi[/mm] sind alle Elemente [mm]z \in \IC^\times[/mm] die
> auf das Einselement [mm]e \in R^\times[/mm] abgebildet werden.
> Das wären doch genau die [mm]z[/mm], für die gilt
> [mm]Re(z)^2+Im(z)^2=1.[/mm] Kann bzw soll ich meinen Kern dann so
> angeben?:
>
> [mm]ker(\phi)=\{z\in\IC \ | \ Re(z)^2+Im(z)^2=1\}[/mm]
Ja. Das stimmt.
> Und wie sieht mein Bild aus? Es ist ja [mm]im(\phi)=\{ \phi(z) \ | \ z\in\IC \}[/mm]
> aber so kann ich doch alle positiven reellen Zahlen
> darstellen?! Also [mm]im(\phi)=\{r\in\IR^\times | r > 0 \}[/mm] ??
Ja, auch das stimmt.
>
> ..lieber mal dumm fragen, als falsch lernen. :)
>
> (iii) Folgendes habe ich überlegt:
>
> Für r [mm]\in \IR_{\ge0}[/mm] und x [mm]\in \IR^\times[/mm] gilt ja:
> [mm]\phi^{-1}(r*x)=r*\phi^{-1}(x)[/mm]
>
> Dann ist
> [mm]\phi^{-1}(r)=\phi^{-1}(r*e)=r*\phi^{-1}(e)=r*kern(\phi)[/mm]
> denn [mm]\phi^{-1}(e)[/mm] ist ja gerade nach Definition der Kern.
> Soweit ok?
>
> Bei der Begründung und Beschreibung komme ich auf keinen
> grünen Zweig.
> Kann mir da jemand ein paar Hinweise zukommen lassen?
Die Linksnebenklasse von r zu $ [mm] kern(\phi) [/mm] $ ist doch gegeben durch
[mm] \{r*u: u \in kern(\phi)\}
[/mm]
und das ist nichts anderes als [mm] $r\cdot{}kern(\phi) [/mm] $
Es gilt: $z [mm] \in r\cdot{}kern(\phi) \gdw [/mm] |z|=r$. Somit:
[mm] $r\cdot{}kern(\phi) [/mm] = [mm] \{z \in \IC^{ \times}: |z|=r\}$.
[/mm]
Das ist die Kreislinie um 0 mit Radius r.
FRED
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> Dankeschön schonmal!
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