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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:38 Sa 30.10.2010 | | Autor: | Lustique |
| Aufgabe | Aufgabe 1.
Es sei G eine Gruppe. Man zeige, daß folgende Bedingungen äquivalent
sind:
(a) G ist abelsch
(b) Die Multiplikations-Abbildung
μ: G [mm] \times [/mm] G [mm] \to [/mm] G
μ(g, h) = gh
ist ein Homomorphismus von Gruppen.
(c) Die Inversen-Abbildung
[mm] \gamma [/mm] : G [mm] \to [/mm] G
[mm] \gamma(g) [/mm] = [mm] g^{-1}
[/mm]
ist ein Homomorphismus von Gruppen. |
Hallo, das ist hier meine erste Frage und ich hoffe ich mache hier gerade alles richtig, aber ich komme mal direkt zu meiner Frage:
Da es hier ja um Äquivalenz geht, muss ich zeigen (a) [mm] \Rightarrow [/mm] (b), (b) [mm] \Rightarrow [/mm] (a), etc.(also alle Kombinationen), oder? Mein Problem ist aber, dass ich im Moment die Multiplikations-Abbildung [mm] \mu [/mm] aus (b) in keine Verbindung mit der Bedingung für einen Gruppenhomomorphismus bringen kann, also f(gh) = f(g) [mm] \cdot [/mm] f(h) (Ich wollte erstmal anfangen und (a) [mm] \Rightarrow [/mm] (b) zeigen). Irgendwie stehe ich da gerade voll auf dem Schlauch, da ich im Moment nicht mal weiß, was ich überhaupt zeigen soll in diesem konkreten Beispiel. Wenn mir da jemand helfen würde, wäre ich schon ziemlich glücklich. Irgendwie kann ich zwischen der Abbildung und der Bedingung für einen Gruppenhomomorphismus keinen Zusammenhang herstellen. Ich hoffe, ihr versteht, was ich meine. Ich denke wenn ich das mal habe, sollte ich mit dem Rest auch alleine klarkommen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:47 Sa 30.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Aufgabe 1.
> Es sei G eine Gruppe. Man zeige, daß folgende Bedingungen
> äquivalent
> sind:
> (a) G ist abelsch
> (b) Die Multiplikations-Abbildung
> μ: G [mm]\times[/mm] G [mm]\to[/mm] G
> μ(g, h) = gh
> ist ein Homomorphismus von Gruppen.
> (c) Die Inversen-Abbildung
> [mm]\gamma[/mm] : G [mm]\to[/mm] G
> [mm]\gamma(g)[/mm] = [mm]g^{-1}[/mm]
> ist ein Homomorphismus von Gruppen.
> Hallo, das ist hier meine erste Frage und ich hoffe ich
> mache hier gerade alles richtig, aber ich komme mal direkt
> zu meiner Frage:
>
> Da es hier ja um Äquivalenz geht, muss ich zeigen (a)
> [mm]\Rightarrow[/mm] (b), (b) [mm]\Rightarrow[/mm] (a), etc.(also alle
> Kombinationen), oder?
Nun, es reicht aus genuegend Implikationen zu zeigen, du musst nicht gleich alle zeigen.
Aber $(a) [mm] \Leftrightarrow [/mm] (b)$ und $(a) [mm] \Leftrightarrow [/mm] (c)$ ist vermutlich am einfachsten.
> Mein Problem ist aber, dass ich im
> Moment die Multiplikations-Abbildung [mm]\mu[/mm] aus (b) in keine
> Verbindung mit der Bedingung für einen
> Gruppenhomomorphismus bringen kann, also f(gh) = f(g) [mm]\cdot[/mm]
> f(h) (Ich wollte erstmal anfangen und (a) [mm]\Rightarrow[/mm] (b)
> zeigen). Irgendwie stehe ich da gerade voll auf dem
> Schlauch, da ich im Moment nicht mal weiß, was ich
> überhaupt zeigen soll in diesem konkreten Beispiel. Wenn
Du sollst zeigen, dass [mm] $\mu$ [/mm] ein Homomorphismus von der Gruppe $G [mm] \times [/mm] G$ zur Gruppe $G$ ist. Die Verknuepfung auf $G [mm] \times [/mm] G$ ist doch komponentenweise definiert. Du musst also zeigen:
fuer [mm] $g_1, g_2, h_1, h_2 \in [/mm] G$ (oder anders gesagt: [mm] $(g_1, g_2), (h_1, h_2) \in [/mm] G [mm] \times [/mm] G$) gilt [mm] $\mu(g_1 h_1, g_2 h_2) [/mm] = [mm] \mu(g_1, g_2) \mu(h_1, h_2)$.
[/mm]
Schrieb das mal aus. Dann bekommst du eine Idee, was das mit kommutativ sein zu tun hat :)
LG Felix
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Hallo Felix und danke erstmal dafür, dass du so schnell geantwortet hast, aber ich glaube ich bekomme es gerade trotzdem nicht hin.
Bis jetzt habe ich folgendes:
[mm]a \Rightarrow b[/mm]
[mm]\mu((g_1,h_1),(g_2,h_2))=(g_1,h_1)\cdot(g_2,h_2)=(g_1g_2,h_1h_2)=\mu(g_1,g_2)\cdot\mu(h_1,h_2)=\mu((g_1,g_2),(h_1,h_2))[/mm]
Aber zum Einen weiß ich gar nicht, ob ich da überhaupt die Kommutativität benutzt habe, und zum Anderen glaube ich, dass ich damit eher die andere Richtung ([mm]a \Leftarrow b[/mm]) gezeigt habe, oder? :/
Was mir gerade auch noch auffällt: Ich habe ja gar nicht nach G sondern wieder nach $ G [mm] \times [/mm] G $ abgebildet, oder? :<
Ich hätte gerade noch eine Idee:
[mm] $g:=g_1 g_2$, $h:=h_1 h_2$
[/mm]
[mm]\mu(g_1 g_2,h_1 h_2)=g_1 g_2 h_1 h_2=g_1 h_1 g_2 h_2=\mu(g_1,h_1) \cdot \mu(g_2,h_2)[/mm]
Das wäre ja (glaube ich) fast das gleiche, was du vorgeschlagen hattest, aber ganz am Anfang in [mm] $\mu$ [/mm] ist ja eigentlich kein Element aus $G [mm] \times [/mm] G$, oder? Sowas müsste doch dann eher folgendermaßen aussehen:
[mm]g_1,g_2,h_1,h_2 \in G \rightarrow (g_1,g_2), (h_1,h_2) \in G \times G \rightarrow \mu((g_1,g_2),(h_1,h_2))=\cdots[/mm] oder? Verdammt, ich bin gerade komplett verwirrt...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Di 02.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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