Gruppenhomomorphismus < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:12 Mo 03.12.2007 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | Hi
Bin gerad bei meiner LADSübung und stecke bei einer Aufagbe fest:
Sind (G,+,0) und (H,*,1) zwei Gruppen, so heißt eine abbildund k: G auf H abgebildet ein Gruppenhomomorphismus falls gilt: Für alle a,b element aus G: k(a+b)=k(a)*k(b)
Zeigen Sie :
a:k(0)=1
b:für alle a elemt ausG:k(a´)=(k(a))´ a ist inverses element
C:(k(G),*,1) ist eine abelsche Gruppe
d. Ist (G,+,0) eine abelsche gruppe , so ist auch (k(G),*,1) abelsch.
zu a: k(0)=k(0)*k(0)
b. leider kein ansatz
c: Gruppenaxiome anwenden
d: leider kein ansatz
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Mein generelles Problem bei dieser Aufgabe ist, dass ich mir nich vorstellen kann wie denn die Gruppen G und H aber auch die abbildung aussieht.
Wenn mir das jemand erklären könnte wär ich echt dankbar.
Ein Dankeschön im vorraus
Matheja
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:25 Di 04.12.2007 | | Autor: | Denny22 |
Hi,
zu(a): Diese Aussage folgt aus der Definition des Gruppenhomomorphismus, denn
[mm] $k(0)=k(0+0)=k(0)\cdot [/mm] k(0)$
Multipliziere nun beide Seiten mit [mm] $k(0)^{-1}$ [/mm] (dieses element existiert, da H eine Gruppe bzgl Multiplikation ist), so folgt
[mm] $1=k(0)\cdot k(0)^{-1}=k(0)\cdot k(0)\cdot k(0)^{-1}=k(0)\cdot [/mm] 1=k(0)$
zu (c): Diese Aussage gilt nur dann, wenn G abelsch ist (was ja gerade Teil (d) ist. Meinst Du vielleicht, dass $k(G)$ eine Gruppe ist?
zu (d): Da G abelsch und k ein Gruppenhomomorphismus ist gilt:
[mm] $k(a)\cdot k(b)=k(a+b)=k(b+a)=k(b)\cdot [/mm] k(a)$
für beliebige [mm] $a,b\in [/mm] G$ und damit für beliebige [mm] $k(a),k(b)\in [/mm] k(G)$, womit $k(G)$ abelsch ist. Vermutlich gilt nach (b), dass $k(G)$ eine Gruppe ist, womit $k(G)$ insgesamt eine abelsche Gruppe ist.
zu (b): Diesen Beweis findet man in jedem Buch und auf tausenden Internetseiten. Suche mal nach "Homomorphismus" oder "Gruppenhomomorphismus". Nach (a) und da $k$ ein Gruppenhomomorphismus ist gilt:
[mm] $1=k(0)=k(-a+a)=k(-a)\cdot [/mm] k(a)$
Multiplikation beider Seiten mit [mm] $k(a)^{-1}$ [/mm] liefert
[mm] $k(a)^{-1}=k(-a)$
[/mm]
Gruß Denny
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 Di 04.12.2007 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | Danke...
zu c: entschlgige das Missverständnis, man soll zeigen das (k(G),*,1) eine Gruppe ist ....Hierzu muss man dann die Gruppenaxiome anwenden, wobei ich mir leider nicht vorstellen kann wie diese gruppe aussieht.
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Ich kann deine Gedanken gut nachvollziehen, Frage mich aber wie darauf gekommen bist in a mit k(0)^-1 zu multiplizieren bzw, ist mit k(0)^-1 eigentlich das Inverse Element gemeint oder einfach 1/k(0)
dann zu b du hast ja gezeigt, dass k(a^-1)=k(-a)
zu Zeigen war aber k(a´)=(k(a))´ wobei a´das inverse element ist oder verstehe ich hier was falsch
nochmals danke
matheja
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> Ich kann deine Gedanken gut nachvollziehen, Frage mich aber
> wie darauf gekommen bist in a mit k(0)^-1 zu multiplizieren
> bzw, ist mit k(0)^-1 eigentlich das Inverse Element gemeint
> oder einfach 1/k(0)
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Was sollte 1/k(0) sein? Ist soetwas hier in der Aufgabe irgendwo definiert? Nein.
[mm] (k(0))^{-1} [/mm] ist das inverso Element v. k(0).
>
> dann zu b du hast ja gezeigt, dass k(a^-1)=k(-a)
> zu Zeigen war aber k(a´)=(k(a))´ wobei
> a´das inverse element ist oder verstehe ich hier was
> falsch
Vor allem hast Du falsch gelesen.
Denny hat gezeigt, daß [mm] (k(a))^{-1}=k(-a) [/mm] ist,
daß also für jedes a [mm] \in [/mm] G der Homomorphismus angewendet auf das Inverse v. a gleich dem Inversen des Homomorphismus angewendet auf a ist.
Hierbei schreibt er, den Verknüpfungen angepaßt, das Inverse in G additiv, das in H multiplikativ.
Gruß v. Angela
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