Gruppenhomomorphismus < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:14 Di 31.10.2006 | | Autor: | Blefix |
| Aufgabe | | Es seien R und S zwei Ringe, f: R [mm] \to [/mm] S ein Ringhomomorphismus und R*, bzw. S* die entsprechenden Einheitengruppen. Ist dann die Einschränkung der Abbildung f:R* [mm] \to [/mm] S* ein Gruppenhomomorphismus? |
Hi alle miteinander,
ich komme bei dieser Frage einfach nicht weiter, weil mir irgendwie das Verständnis für die Aufgabe fehlt.
Eigentlich ist es ja so, dass wenn ein Ringhomomorphismus vorliegt, automatisch auch ein Gruppenhomomorphismus vorliegen muss, oder?
Mir ist deshalb nicht klar, was diese Einschränkung nun genau verändert, dass der Gruppenhomomorphis nun vielleicht doch nicht vorliegt.
Vielleicht kann mir auch einfach nur jemand erklären, wie ich mir diese Einheitengruppe genau vorstellen muss.
Ich hab dazu nur folgende Definition gefunden:
Die Menge R* der invertierbaren Elemente aus R ist eine Gruppe, sie heißt Einheitengruppe des Ringes R. (R* ist nur erklärt, wenn R ein Einselement hat.)
Wäre für ein paar Tipps oder Denkanstöße echt dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:16 Di 31.10.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es seien R und S zwei Ringe, f: R [mm]\to[/mm] S ein
> Ringhomomorphismus und R*, bzw. S* die entsprechenden
> Einheitengruppen. Ist dann die Einschränkung der Abbildung
> f:R* [mm]\to[/mm] S* ein Gruppenhomomorphismus?
> Hi alle miteinander,
>
> ich komme bei dieser Frage einfach nicht weiter, weil mir
> irgendwie das Verständnis für die Aufgabe fehlt.
> Eigentlich ist es ja so, dass wenn ein Ringhomomorphismus
> vorliegt, automatisch auch ein Gruppenhomomorphismus
> vorliegen muss, oder?
Ja, bezueglich der Addition. Hier geht es aber um die Multiplikation.
> Mir ist deshalb nicht klar, was diese Einschränkung nun
> genau verändert, dass der Gruppenhomomorphis nun vielleicht
> doch nicht vorliegt.
Also erstmal musst du zeigen, dass $f(R^*)$ ueberhaupt in $S^*$ liegt, dass die Einschraenkung also wohldefiniert ist.
Das die Einschraekung dann ein Gruppenhomomorphismus ist siehst du ganz schnell.
> Vielleicht kann mir auch einfach nur jemand erklären, wie
> ich mir diese Einheitengruppe genau vorstellen muss.
> Ich hab dazu nur folgende Definition gefunden:
> Die Menge R* der invertierbaren Elemente aus R ist eine
> Gruppe, sie heißt Einheitengruppe des Ringes R. (R* ist nur
> erklärt, wenn R ein Einselement hat.)
Genau. Also $R^* = [mm] \{ r \in R \mid \exists s \in R : r s = 1 \}$.
[/mm]
> Wäre für ein paar Tipps oder Denkanstöße echt dankbar.
Rechne doch mal nach, dass [mm] $\varphi(R^*) \subseteq [/mm] S^*$ gilt.
LG Felix
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