Gruppenhomomorphismus < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen sie, dass die folgende Abbildung ein Gruppenhomomorphismus ist und bestimmen sie jeweils Kern und Bild:
[mm] \alpha: \IR [/mm] --> GL(2, [mm] \IR), t-->(\pmat{ 1 & t \\ 0 & 1 }) [/mm] |
Meine Frage ist jetzt, wie ich das beweisen kann.
Wir haben schon:
[mm] f(t_1°t_2)=f(t_1)°f(t_2)
[/mm]
d.h., [mm] f(t_1*t_2)=(\pmat{ 1 & t_1*t_2 \\ 0 & 1 }),
[/mm]
aber das ist leider nicht das selbe, wie
[mm] f(t_1)*f(t_2)=(\pmat{ 1 & t_1+t_2 \\ 0 & 1 }).
[/mm]
Könnt ihr mir bei meinem Denkfehler weiterhelfen.
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:01 Mi 25.10.2006 | | Autor: | statler |
Hey Sternchen!
> Zeigen sie, dass die folgende Abbildung ein
> Gruppenhomomorphismus ist und bestimmen sie jeweils Kern
> und Bild:
> [mm]\alpha: \IR[/mm] --> GL(2, [mm]\IR), t-->(\pmat{ 1 & t \\ 0 & 1 })[/mm]
>
> Meine Frage ist jetzt, wie ich das beweisen kann.
> Wir haben schon:
> [mm]f(t_1°t_2)=f(t_1)°f(t_2)[/mm]
> d.h., [mm]f(t_1*t_2)=(\pmat{ 1 & t_1*t_2 \\ 0 & 1 }),[/mm]
> aber
> das ist leider nicht das selbe, wie
> [mm]f(t_1)*f(t_2)=(\pmat{ 1 & t_1+t_2 \\ 0 & 1 }).[/mm]
...aber das ist dasselbe wie [mm] f(t_{1} [/mm] + [mm] t_{2})
[/mm]
Konnte ich dir bei deinem Denkfehler weiterhelfen?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Vielen Dank erstmal, aber irgendwie steh ich immer noch auf dem Schlauch.
Warum muss ich jetzt die Verknüpfung + einbringen?
Ist es egal, ob * oder +?
Sorry, aber ist schon so lange her.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:13 Mi 25.10.2006 | | Autor: | statler |
> Vielen Dank erstmal, aber irgendwie steh ich immer noch auf
> dem Schlauch.
> Warum muss ich jetzt die Verknüpfung + einbringen?
> Ist es egal, ob * oder +?
> Sorry, aber ist schon so lange her.
Weil [mm] \IR [/mm] mit * (wegen der bl...n Null) überhaupt keine Gruppe ist, nur [mm] \IR [/mm] mit +.
Und dann funktioniert es ja auch!
Noch ein Gruß
Dieter
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Achso, super, vielen Dank! Kannst du mir aber noch dabei helfen, wie ich das für die nächste Aufgabe beweisen soll:
[mm] \gamma: [/mm] Mat(n, [mm] \IC)--> [/mm] Mat(n, [mm] \IC), A-->A+A^T
[/mm]
Diesmal hab ich keinen Ansatz.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:26 Mi 25.10.2006 | | Autor: | statler |
Rechne doch einfach mal [mm] \gamma [/mm] (A), [mm] \gamma [/mm] (B) und [mm] \gamma [/mm] (A+B) aus und vergleiche die Ergebnisse. (Selbst ist die Frau. [Jedenfalls sollte sie das ein bißchen sein.])
3. Gruß
Dieter
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Die selbstständige Frau, hat es geschafft ! Vielen Dank.
Mein letztes Problem ist jetzt aber noch, wie ich den Kern und das Bild bestimmen kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:38 Mi 25.10.2006 | | Autor: | statler |
So weit super ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Jetzt für welche Abb. den Kern und das Bild?
Kern ist Urbild des neutralen Elementes, also leg mal los ...
Dieter
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Erstmal geht es mir um die letzte Abbildung mit der Matrix.
Das neutrale Element der Matrix ist die Nullmatrix.
Und dazu muss ich jetzt das Urbild finden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:19 Mi 25.10.2006 | | Autor: | statler |
Genau! Für welche Matrizen A ist denn A + [mm] A^{T} [/mm] = 0?
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Mir fällt spontan eigentlich nur die Nullmatrix ein.
Gibt es noch mehr?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:44 Mi 25.10.2006 | | Autor: | statler |
Oja! Versuch es doch mal mit einer (allgemeinen) 2x2-Matrix, das ergibt dann Gleichungen für die Einträge der Matrix.
Dieter
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Allgemeine 2x2-Matrix:
[mm] \pmat{ 0 & -a \\ a & 0 }
[/mm]
Addiert man dazu die Transponierte Matrix, ergibt das immer die Nullmatrix. Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 Mi 25.10.2006 | | Autor: | statler |
Da bist du genau auf der richtigen Spur! Jetzt versuch mal, das zu verallgemeinern.
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[mm] \pmat{ 0 &-a_12&...&-a_1n \\a_21 & ... &...&...\\...&...&...&...\\a_n&...&a_mn&0 }
[/mm]
Geht das so, oder ist das immer noch nicht allgemein genug?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:28 Mi 25.10.2006 | | Autor: | statler |
Und jetzt solltest du die Test- und Probierphase beenden und deine Erkenntnisse in einen mathematisch ansprechenden Text gießen. Bei deiner Matrix sind die Indizes durcheinandergeraten.
Beh.: A = [mm] (a_{ij}) \in ker(\gamma) \gdw a_{ij} [/mm] = ...
Bew.: ...
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Vielen Dank für deine Bemühungen. Muss jetzt leider los, werd mir aber dazu nochmal meine Gedanken machen.
Vielen Dank
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Hallo sternchen19.8,
ist A eine nxn-Matrix mit A [mm] +A^T=O [/mm] (gemeint ist die Nullmatrix). D.h. [mm]\label{eq:1} a_{ij}+a_{ji}=0[/mm] für [mm]1 \le i \le j \le n[/mm]. (Der Fall j<i "erledigt sich" wegen der "Symmetrie" der linken Seite von Gl. [mm][mm] \label{eq:1}.)
[/mm]
Dann bekommst Du folgendes:
[mm]a_{ij}=\begin{cases} 0 & \mbox{falls $i=j$} \\
-a_{ji} & \mbox{sonst.}
\end{cases}[/mm]
Hoffe das hilft
Gruß
zahlenspieler
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> Zeigen sie, dass die folgende Abbildung ein
> Gruppenhomomorphismus ist und bestimmen sie jeweils Kern
> und Bild:
> [mm]\alpha: \IR[/mm] --> GL(2, [mm]\IR), t-->(\pmat{ 1 & t \\ 0 & 1 })[/mm]
>
> Meine Frage ist jetzt, wie ich das beweisen kann.
> Wir haben schon:
> [mm]f(t_1°t_2)=f(t_1)°f(t_2)[/mm]
> d.h., [mm]f(t_1*t_2)=(\pmat{ 1 & t_1*t_2 \\ 0 & 1 }),[/mm]
> aber
> das ist leider nicht das selbe, wie
> [mm]f(t_1)*f(t_2)=(\pmat{ 1 & t_1+t_2 \\ 0 & 1 }).[/mm]
Hallo,
i.A. gehört zur vollständigen Angabe der Gruppe auch die Verknüpfung: Steht in Deiner Aufgabe, daß [mm](\IR, *)[/mm] abgebildet werden soll? Probier's dochmal mit der Addition in [mm]\IR[/mm].
Hoffe das hilft
Gruß
zahlenspieler
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Das es ein Gruppenhomomorphismus ist, habe ich schon bewiesen. Mir ist nur nicht ganz klar, wie ich den Kern und das Bild bestimmen soll.
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Hallo und guten Morgen,
der Kern ist die Teilmenge von [mm] \IR, [/mm] die auf das neutrale Element von [mm] GL(2,\IR) [/mm] abgebildent wird, und dieses ist .....
... die Einheitsmatrix, also [mm] Kern(\ldots [/mm] ) [mm] =\{0\}
[/mm]
Das Bild ist die Menge der oberen Dreiecksmatrizen mit Diagonaleinträgen 1, insbes. Determinante 1, also eine Untergruppe der [mm] SO(2,\IR), [/mm] richtig ?
Viele Grüße,
Mathias
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