Gruppenhomomorphismus < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:09 Di 08.11.2005 | | Autor: | Maoi |
Hallo,
ich habe zu folgender Aufgabe eine Frage:
Ist [mm] \varphi: [/mm] G [mm] \rightarrow [/mm] G definiert durch [mm] \varphi(x) [/mm] = [mm] x^{-1} [/mm] ein Homomorphismus, so ist G abelsch.
Dies ist mein Ansatz:
a [mm] \circ [/mm] b = [mm] (b^{-1} \circ a^{-1})^{-1} [/mm] = [mm] \varphi(b^{-1} \circ a^{-1}) [/mm] = [mm] \varphi(b^{-1}) \circ \varphi(a^{-1}) [/mm] = [mm] (b^{-1})^{-1} \circ (a^{-1})^{-1} [/mm] = b [mm] \circ [/mm] a
Meine Fragen sind nun:
- Habe ich an der richtigen Stelle a und b "vertauscht"
- Egal ob richtig oder falsch - warum darf ich gerade hier Kommutativität voraussetzen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
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> ich habe zu folgender Aufgabe eine Frage:
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> Ist [mm]\varphi:[/mm] G [mm]\rightarrow[/mm] G definiert durch [mm]\varphi(x)[/mm] =
> [mm]x^{-1}[/mm] ein Homomorphismus, so ist G abelsch.
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> Dies ist mein Ansatz:
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> a [mm]\circ[/mm] b = [mm](b^{-1} \circ a^{-1})^{-1}[/mm] = [mm]\varphi(b^{-1} \circ a^{-1})[/mm]
> = [mm]\varphi(b^{-1}) \circ \varphi(a^{-1})[/mm] = [mm](b^{-1})^{-1} \circ (a^{-1})^{-1}[/mm]
> = b [mm]\circ[/mm] a
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> Meine Fragen sind nun:
> - Habe ich an der richtigen Stelle a und b "vertauscht"
> - Egal ob richtig oder falsch - warum darf ich gerade hier
> Kommutativität voraussetzen?
Hallo!
Und: hä?
Was meinst Du mit "a und b vertauscht"?
Dieses hier: [mm] ab=(b^{-1}a^{-1})^{-1} [/mm] ?
Ich gehe davon aus, daß das Deine Frage ist.
Es hat [mm] ab=(b^{-1}a^{-1})^{-1} [/mm] absolut nichts mit Kommutativität zu tun. (Wenn man die hier voraussetzen würde, hätte man etwas falsch gemacht.)
Sondern es ist [mm] (ab)(b^{-1}a^{-1})=a(bb^{-1})a^{-1}=aa^{-1}=1. [/mm] Das bedeutet, daß ab das inverse Element ist von [mm] b^{-1}a^{-1}, [/mm] also [mm] ab=(b^{-1}a^{-1})^{-1}. [/mm] Benutzt hat man das Assoziativgesetz.
Gruß v. Angela
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>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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