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| Aufgabe | Seien m, n natürliche Zahlen. Bestimmen Sie alle Gruppenhomomorphismen
f:Z/m −> Z/n .
( Z Körper der ganzen Zahlen ) |
Hallo!
Sehr viel Information ist in dieser Aufgabenstellung ja nun nicht gegeben... Also ich könnte mir sowieso einfach + additiv als Gruppenhomomorphismus vorstellen, und falls n eine Primzahl ist, auch * multiplikativ ...
Wie gehe ich vor, um wirklich alle Gruppenhomomorphismen zu ermitteln und zu beweisen dass es keine weiteren gibt ?
vielen Grüße,
Leon
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Di 20.03.2007 | | Autor: | statler |
Mahlzeit Leon!
> Seien m, n natürliche Zahlen. Bestimmen Sie alle
> Gruppenhomomorphismen
>
> f:Z/m −> Z/n .
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> ( Z Körper der ganzen Zahlen )
> Sehr viel Information ist in dieser Aufgabenstellung ja nun
> nicht gegeben...
Aber man weiß z. B., daß es sich um zyklische Gruppen handelt. Und man hat den Homomorphiesatz
G/ker(f) [mm] \cong [/mm] im(f)
Und man hat den Satz von Lagrange (|H| teilt |G|)
Das ist eine ganze Menge und reicht, um mal loszulegen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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> Seien m, n natürliche Zahlen. Bestimmen Sie alle
> Gruppenhomomorphismen
>
> f:Z/m −> Z/n .
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> ( Z Körper der ganzen Zahlen )
> Sehr viel Information ist in dieser Aufgabenstellung ja nun
> nicht gegeben... Also ich könnte mir sowieso einfach +
> additiv als Gruppenhomomorphismus vorstellen, und falls n
> eine Primzahl ist, auch * multiplikativ ...
>
> Wie gehe ich vor, um wirklich alle Gruppenhomomorphismen zu
> ermitteln und zu beweisen dass es keine weiteren gibt ?
Hallo,
ich gehe davon aus, daß Du nicht die Algebravorlesung hörst, sondern "Mathe für ...".
Daher möchte ich Dieters Hinweise noch um ein paar Dinge ergänzen, die vielleicht zum Verständnis beitragen.
Es geht hier um zyklische Gruppen der Ordnung m bzw. n.
Sämtliche zyklische Gruppen der Ordnung m sind isomorph, ob Du Dir da jetzt eine multiplikative oder additive Gruppe drunter vorstellst, ist im Prinzip egal - sofern sie wirklich zyklisch ist und m Elemente hat.
Dies ist bei [mm] \IZ_n, [/mm] womit üblicherweise die [mm] (\IZ_n, [/mm] +), die additive Gruppe der Restklassen modulo m gemeint sind, der Fall.
Aber nun ganz große Vorsicht: auch für eine Primzahl p ist [mm] \IZ_p [/mm] mit der Multiplikation keine Gruppe! Bedenke, daß in [mm] \IZ_p [/mm] die 0 enthalten ist...
Natürlich hat - wie jede Sage - Dein Gedanke einen wahren Kern: nimmst Du aus der Menge der Restklassen modulo einer Primzahl die Null heraus, betrachtest also [mm] \IZ_p^{\*}, [/mm] die Einheitengruppe von [mm] \IZ_p, [/mm] hast Du eine zyklische Gruppe bzgl der Multiplikation. Diese hat allerdings einen Schönheitsfehler, jedenfalls soweit das Deine Aufgabe betrifft: sie hat nicht p Elemente!
Die Moral von der Geschicht': in Deiner Aufgabe sollst Du mit an Sicherheit die additiver Gruppe der Restklassen betrachten.
Aus den oben erwähnten Isomorphiegründen gilt Dein Ergebnis, welches Du aus Betrachtung dieses Falls gewinnst, dann für sämtliche Homomorphismen zwischen zyklischen Gruppen der Ordnung m und n. Die Mühe lohnt sich also.
Zur Vorgehensweise:
Jede zyklische Gruppe hat ein erzeugendes Element, wenn Du die Restklassen mod m bzw. n betrachtest, erzeugt die 1 die Gruppe.
Deshalb reduziert sich die Frage nach den möglichen Homomorhismen auf die Frage: auf welche Elemente darf ich die 1 abbilden?
Hierbei ist zu bedenken:
[mm] 0_n=\varphi(0_m)=\varphi(m*1_m)=m*\varphi(1_m),
[/mm]
"m*1" meint hier:" [mm] \underbrace{1+...+1}_{m-mal}".
[/mm]
Du mußt Deine Abbildung also so "organisieren", daß Du die [mm] 1_m [/mm] auf ein Element [mm] \varphi(1_m) [/mm] abbildest, dessen Ordnung (falls [mm] \varphi(1_m)\not=0_n) [/mm] ein Teiler von m ist.
Gruß v. Angela
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