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| Aufgabe | 1. Es sei ƒ: G -> G' ein Homomorphismus von Gruppen. Beweisen Sie folgende Aussagen:
(1) Ist N' ⊆ G' ein Normalteiler, so ist ƒ-¹(N') ein Normalteiler von G.
(2) Ist G einfach, d.h. {e} und G sind die einzigen Normalteiler von G, so ist ƒ injektiv oder es gilt ƒ(x) = e für alle x∈G.
(3) Es gilt ƒ-¹({ƒ(x)})=xkerƒ für alle x∈G. |
Ich wäre demjenigen sehr dankbar, der mir helfen könnte diese Aufgabe zu lösen und zu verstehen. Ich habe mir hierzu folgende Gedanken gemacht:
(1) ƒ ist eine Funktion in der G zu G' abgebildet wird. N' soll eine echte Teilmenge von G'' sein und auch der Normalteiler, in dem Fall wäre die Umkehrfunktion von ƒ mit N' ein Normalteiler von G.
An sich ist das ja klar, denn wenn N' der Normalteiler von G' ist dann muss die Umkehrung von N die dann ja eine echte Teilmenge von G wäre auch deren Normalteiler sein. Doch ich weiß nicht wie ich das am besten beweisen kann.
(2) wie bestimmt man {e}? und ist das das neutrale Element?
(3) was genau heißt das mit dem ker nochmal?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> 1. Es sei ƒ: G -> G' ein Homomorphismus von Gruppen.
> Beweisen Sie folgende Aussagen:
> (1) Ist N' ⊆ G' ein Normalteiler, so ist ƒ-¹(N') ein
> Normalteiler von G.
> (2) Ist G einfach, d.h. {e} und G sind die einzigen
> Normalteiler von G, so ist ƒ injektiv oder es gilt ƒ(x) =
> e für alle x∈G.
> (3) Es gilt ƒ-¹({ƒ(x)})=xkerƒ für alle x∈G.
> Ich wäre demjenigen sehr dankbar, der mir helfen könnte
> diese Aufgabe zu lösen und zu verstehen. Ich habe mir
> hierzu folgende Gedanken gemacht:
>
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> (1) ƒ ist eine Funktion in der G zu G' abgebildet wird.
Ja, und zwar eine Funktion mit besonderen Eigenschaften, ein Homomorphismus.
Was ist ein Homomorphismus (Def)?
Besondere Eigenschaften?
>N'
> soll eine echte Teilmenge
echt muß die nicht sein.
N'ist nicht nur eine Teilmenge, sondern sogar eine Untergruppe
> von G' sein und auch der
> Normalteiler,
ein Normalteiler.
Wie ist "N'ist NT von G'" definiert?
> in dem Fall wäre die Umkehrfunktion von ƒ
Wir können nicht davon ausgehen, daß f eine Umkehrfunktion hat, denn es steht nirgendwo, daß f bijektiv ist.
[mm] f^{-1} [/mm] von einer Menge ist das Urbild der Menge!
Wie ist [mm] f^{-1}(N') [/mm] definiert?
[mm] f^{-1}(N')=\{y\in...|...\}
[/mm]
> mit N' ein Normalteiler von G.
> An sich ist das ja klar, denn wenn N' der Normalteiler von
> G' ist dann muss die Umkehrung von N die dann ja eine
> echte Teilmenge von G wäre auch deren Normalteiler sein.
Mir ist das so aus dem Stand gar nicht klar.
> Doch ich weiß nicht wie ich das am besten beweisen kann.
Du brauchst ja nicht den besten Beweis. Irgendeiner reicht erstmal.
Du möchtest also zeigen, daß [mm] f^{-1}(N') [/mm] ein Normalteiler von G ist.
Was ist dafür zu zeigen?
All das, was ich Dich gefragt habe, muß vor Beweisbeginn geklärt sein.
Sonst braucht man gar nicht zu beginnen.
Wenn Du Dich mit den Begriffen vertraut gemacht hast, hast Du vielleicht auch schon eine Idee für den Beweis.
> (2) wie bestimmt man {e}? und ist das das neutrale Element?
e bezeichnet das neutrale Element der Gruppe G.
Hier wird vorausgesetzt, daß die trivialen Untergruppe [mm] \{e\} [/mm] und G die einzigen Normalteiler sind.
>
> (3) was genau heißt das mit dem ker nochmal?
Hast Du keine Vorlesungsmitschrift, kein Lehrbuch, kein Internet?
[mm] kern(f):=\{x\in G|f(x)=e\}
[/mm]
Fang erstmal mit (1) an.
Eine Baustelle nach der anderen...
LG Angela
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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