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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:21 Mi 13.10.2010 | | Autor: | i-man |
| Aufgabe | | Geben Sie alle injektiven Gruppenhomomorphismen von [mm] \IZ/3\IZ [/mm] nach [mm] \IZ/12\IZ [/mm] an. |
Hallo,
Wie geht man bei dieser Aufgabe vor? Ein Ansatz wäre eventuell die Verknüpfungstabellen aufzustellen?
Gruß
I-Man
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Geben Sie alle injektiven Gruppenhomomorphismen von
> [mm]\IZ/3\IZ[/mm] nach [mm]\IZ/12\IZ[/mm] an.
> Hallo,
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> Wie geht man bei dieser Aufgabe vor? Ein Ansatz wäre
> eventuell die Verknüpfungstabellen aufzustellen?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Die Verknüpfungstafeln aufzustellen, ist sicher kein Fehler, vor allem, wenn Du mit diesen Gruppen nicht so vertraut bist.
Leider lieferst Du keine Lösungsansätze, also kann man schlecht wissen, wie gut oder schlecht Du informiert bist.
Weißt Du denn, was ein Gruppenhomomorphismus ist?
Wenn nein: nachschlagen.
Wenn ja: sagen.
Eventuell habt Ihr schon einen Satz über injektive Gruppenhomomorphismen gehabt. Wenn ja: was sagt der?
Die 1 ist ein erzeugendes Element von [mm] \IZ/ 3\IZ.
[/mm]
Überleg Dir doch mal, auf welche Elemente der zweiten Gruppe Du diese abbilden kannst, ohne die Injektivität zu verderben.
Bedenke dazu: wenn Du 1 auf ein Element a abbildest, also f(1):=a setzt, dann ist f(1+1)=f(1)+f(1)=a+a.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Mi 13.10.2010 | | Autor: | i-man |
Erstmals danke für Ihre Antwort,
Gruppenhomomorphismus: Das Bild der Verknüpfung ist gleich der Verknüpfungen der Bilder.
==> f(a *b) = f(a) x f(b) ,wobei in diesem Fall ist es eine additive Verknüpfung
, aber was ein injektiver Grupp. Homomor. ist, haben wir nie wirklich besprochen. Also ich habe die Vermutung, dass man dann entsprechende Abbilder suchen muss, um die Injektivität zu erhalten.
Also habe ich alle Möglichkeiten nachgeprüft und bin z.B zu einer Möglichkeit gekommen:
[0] --> [0]
[1] --> [4]
[2] --> [8]
und wenn man alle Verknüpfungen ausprobiert, dann kommt man auf diese Bilder.
Sie haben mich darauf hingewiesen, dass die 1 das erzeugende Element ist. Ich weiß jedoch nicht, was ich mit diesem Tipp anfangen soll.
Und ich frage mich, ob es eine andere Möglichkeit gibt, alle injektiven Gruppenhomomorphismen zu erhalten. Denn so muss ich ja alle Möglichekiten ausprobieren.
Und wie sehen denn dann die surjektiven Gruppenhomomorphismen von [mm] S_{3} [/mm] nach [mm] \IZ/2\IZ [/mm] aus.
Ansatz: Kern auf Kern ==> die Frage ist, was ist der kern von [mm] S_{3}
[/mm]
Gruß
I-Man
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:48 Mi 13.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Erstmals danke für Ihre Antwort,
Du darfst Angela hier ruhig duzen :)
> Gruppenhomomorphismus: Das Bild der Verknüpfung ist gleich
> der Verknüpfungen der Bilder.
>
> ==> f(a *b) = f(a) x f(b) ,wobei in diesem Fall ist es eine
> additive Verknüpfung
Genau.
> , aber was ein injektiver Grupp. Homomor. ist, haben wir
> nie wirklich besprochen.
Es bedeutet einfach, dass die Funktion injektiv ist. (Oder auch aequivalent: dass der Kern nur das neutrale Element enthaelt.)
> Also ich habe die Vermutung, dass
> man dann entsprechende Abbilder suchen muss, um die
> Injektivität zu erhalten.
> Also habe ich alle Möglichkeiten nachgeprüft und bin z.B
> zu einer Möglichkeit gekommen:
>
> [0] --> [0]
> [1] --> [4]
> [2] --> [8]
Ja, das ist eine Moeglichkeit.
Es gibt aber noch eine. (Und dann keine weitere mehr.)
> und wenn man alle Verknüpfungen ausprobiert, dann kommt
> man auf diese Bilder.
>
> Sie haben mich darauf hingewiesen, dass die 1 das
> erzeugende Element ist. Ich weiß jedoch nicht, was ich mit
> diesem Tipp anfangen soll.
Nun: in [mm] $\IZ/3\IZ$ [/mm] gibt es drei Elemente: 0, 1, 2. Es ist $2 = 1 + 1$ und $0 = 1 + 1 + 1$.
(Daraus folgt schonmal: wie genau ein Homomorphismus $f : [mm] \IZ/3\IZ \to [/mm] Irgendwas$ aussieht, ist bereits vollstaendig durch $f(1)$ festgelegt, da $f(2) = f(1) + f(1)$ und $f(0) = 0$ ist.)
Wenn also $1$ auf $a [mm] \in \IZ/12\IZ$ [/mm] abgebildet wird, muss $a + a$ ungleich $a$ sein, und $a + a + a$ muss ungleich $a$ und $a + a$ sein, und gleich $0$.
Es muss $a$ also ein Element sein mit $0 [mm] \neq [/mm] a [mm] \neq [/mm] a + a [mm] \neq [/mm] 0$ und $a + a + a = 0$.
Es gibt in [mm] $\IZ/12\IZ$ [/mm] genau zwei solche Elemente. Welche sind es?
> Und ich frage mich, ob es eine andere Möglichkeit gibt,
> alle injektiven Gruppenhomomorphismen zu erhalten. Denn so
> muss ich ja alle Möglichekiten ausprobieren.
Du musst alle Elemente $a$ bestimmen mit der von mir genannten Eigenschaft. (Die nennt sich auch: "$a$ hat Ordnung 3".) Zu jedem solchen Element gibt es genau einen injektiven Homomorphismus [mm] $\IZ/3\IZ \to \IZ/12\IZ$.
[/mm]
> Und wie sehen denn dann die surjektiven
> Gruppenhomomorphismen von [mm]S_{3}[/mm] nach [mm]\IZ/2\IZ[/mm] aus.
>
> Ansatz: Kern auf Kern ==> die Frage ist, was ist der kern
> von [mm]S_{3}[/mm]
Solange es hier nicht um den Kern des Pudels geht...
Man spricht bei Homomorphismen von Kernen, bei Gruppen jedoch hat das Wort keine Bedeutung. Du meinst also: was ist der Kern von [mm] $S_3 \to \IZ/2\IZ$?
[/mm]
Mit Lagrange kannst du schonmal sagen, wie viele Elemente der Kern enthaelt. Wenn du dir dann [mm] $S_3$ [/mm] genau anschaust, bleibt genau eine Moeglichkeit fuer den Kern.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:29 Do 14.10.2010 | | Autor: | i-man |
ok jetzt hab ich es verstanden..
Vielen Dank
Gruß
I-Man
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