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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Gruppenhomomorphismen
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Gruppenhomomorphismen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 04:16 Mo 19.05.2008
Autor: Tommylee

Aufgabe
Bestimmen Sie für eine beliebige Gruppe ( G , o ) alle Gruppenhomomorphismen von ( [mm] \IZ [/mm] , + ) nach ( G , o)

Hallo ,

hich muss ich mir für ( G , o ) einfach eine Gruppe auswählen oder ?,
wie soll ich so was bestimmen allgemein für ( G , o )  

ich hab ( [mm] \IQ [/mm] , +) gewählt

und mit der Distributivität argumentiert , das bei linearen Abbildungen
der Form

x [mm] \mapsto [/mm]   ax      a [mm] \in \IR [/mm]

und  x [mm] \mapsto [/mm]   x/a       a [mm] \in \IR [/mm]  


f(x+y) = f(x) + f(y)    gilt

(Distributivität: [mm] a(x_{1},x_{2},.....x_{n})= ax_{1} [/mm] + [mm] ax_{2} [/mm] +.. +  [mm] ax_{n}) [/mm]


also  a  [mm] \summe_{i=1}^{n} x_{i} [/mm]   =  [mm] \summe_{i=1}^{n} ax_{i} [/mm]



Habt Dank für Rat

        
Bezug
Gruppenhomomorphismen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:38 Mo 19.05.2008
Autor: MatthiasKr

Hallo,
> Bestimmen Sie für eine beliebige Gruppe ( G , o ) alle
> Gruppenhomomorphismen von ( [mm]\IZ[/mm] , + ) nach ( G , o)
>  Hallo ,
>  
> hich muss ich mir für ( G , o ) einfach eine Gruppe
> auswählen oder ?,
> wie soll ich so was bestimmen allgemein für ( G , o )  
>
> ich hab ( [mm]\IQ[/mm] , +) gewählt
>
> und mit der Distributivität argumentiert , das bei linearen
> Abbildungen
>  der Form
>  
> x [mm]\mapsto[/mm]   ax      a [mm]\in \IR[/mm]
>  
> und  x [mm]\mapsto[/mm]   x/a       a [mm]\in \IR[/mm]  
>
>
> f(x+y) = f(x) + f(y)    gilt
>  
> (Distributivität: [mm]a(x_{1},x_{2},.....x_{n})= ax_{1}[/mm] +
> [mm]ax_{2}[/mm] +.. +  [mm]ax_{n})[/mm]
>  
>
> also  a  [mm]\summe_{i=1}^{n} x_{i}[/mm]   =  [mm]\summe_{i=1}^{n} ax_{i}[/mm]
>  

ich verstehe deine argumentation nicht ganz, bzw. welche rueckschluesse du nun schliessen kannst, wie die gruppen-homs. aussehen.

ich denke, bei der aufgabe geht es um folgendes: stelle dir vor die 1 aus Z wird von einem Hom. f auf ein element [mm] $g_1=f(1)$ [/mm] aus G abgebildet. was kannst  du daraus fuer f(2), f(3), ja sogar f(n) folgern?
was ist mit f(0)? und was mit den negativen zahlen? Hast du also nach der Wahl von [mm] g_1 [/mm] noch freiheitsgrade bei der definition von f? Und was heisst das letzten endes fuer die menge der gruppen-homs.?

gruss
matthias

>
> Habt Dank für Rat


Bezug
                
Bezug
Gruppenhomomorphismen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:34 Mo 19.05.2008
Autor: Tommylee

Hallo ,
zunäct mal zu meiner Lösung :

ich hatte ja  [mm] (\IZ [/mm] , + )  nach [mm] (\IQ [/mm] , + ) gewählt

Ich sollalle Gruppenhomomorphismen Bestimmen ,
also alle Abbildungen f die

f(x+y) = f(x) + f(y)  erfüllen

Ich hab da nur   f(x) = ax     ,also z.B  f(x) = 3x       [mm] (a\in \IR) [/mm] halt

denn   f(2+5) = a*(2+5)  = a*2 + a*5 =  f(2) + f(5)      (Distributivgesetz)

Ander fand ich nicht die

(x+y) = f(x) + f(y)  erfüllen

wenn ich jetzzt allgemein bei (G , o ) bleibe  ( ich versuchs zu verstehen)

also

Gruppenhomomorphismen von [mm] (\IZ [/mm] , +) nach ( g , o )

muss ja erfüllt sei :

f(x+y) = f(x) o f(y)


  
stelle dir vor die 1 aus Z wird von einem Hom. f auf ein element  aus G abgebildet. was kannst  du daraus fuer f(2), f(3), ja sogar f(n) folgern?


also f(1)  [mm] \in [/mm]   G

Nach
f(x+y) = f(x) o f(y)

muss ja

f(0+1) = [ f(0) o f(1) ]   [mm] \in [/mm]  G


also :  f(0) o f(1)  =  f(1)  o f(0)  =  f(1)

also ist das Bild f(0) in G neutrales Element in G

f(2) = f(1) o f(1)
f(3) = f(1) o f(1) 0 f(1) = f(2) o f(1)

f(n) = f(n-1)  o  f(1) Als Lösung der Aufgabe verstehe ich die Menge aller
Funktionen die Gruppenhopmomorphismen
von [mm] (\IZ [/mm] , +) nach (G,o) siknd.

Wie mache ich weiter ???

Bezug
                        
Bezug
Gruppenhomomorphismen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:34 Di 20.05.2008
Autor: angela.h.b.

>
> wenn ich jetzzt allgemein bei (G , o ) bleibe  ( ich
> versuchs zu verstehen)
>  
> also
>  
> Gruppenhomomorphismen von [mm](\IZ[/mm] , +) nach ( G , o )
>  
> muss ja erfüllt sei :
>  
> f(x+y) = f(x) o f(y)

Hallo,

genau.

> also f(1)  [mm]\in[/mm]   G

Ja.

f(1):=g [mm] \in [/mm] G, denn der 1 aus [mm] \IZ [/mm] wird irgendein Element aus G zugewiesen.

Daraus ergibt sich

>  
> f(2) = f(1) o f(1)

[mm] =g^2 [/mm]

>  f(3) = f(1) o f(1) 0 f(1)

[mm] =g^3 [/mm]
  

> f(n) = f(n-1)  o  f(1)

[mm] =g^n, [/mm]

und auch f(-n) und f(0) liegen durch f(1):=g fest.


Wieviele Homomorphismen von [mm] (\IZ, [/mm] +) nach (G, [mm] \cirg) [/mm] mit f(1)=g gibt es also?



> Als Lösung der Aufgabe verstehe ich
> die Menge aller
>  Funktionen die Gruppenhopmomorphismen
> von [mm](\IZ[/mm] , +) nach (G,o) siknd.

Richtig.

>  
> Wie mache ich weiter ???

Du solltest inzwischen herausgefunden haben, wieviele Homomorphismen mit f(1)=g es gibt.

Nun überlege Dir, wieviele Homomorphismen es insgesamt geben kann. Wieviele Möglichkeiten hast Du, der 1 ein Element zuzuweisen?

Gruß v. Angela




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