Gruppenhomomorphismen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | (a) Seien G und H endliche Gruppen teilerfremder Ordnung. Zeigen Sie, dass es genau einen Gruppenhomomorphismus f: G->H gibt.
(b) Bestimmen Sie alle Gruppenhomomorphismen g: (Z/nZ,+)->(Z/mZ,+) für [mm] m,n\in [/mm] {6,7,9}. |
Hallöle!
zu(a)
Habe mit dieser Aufgabe so meine Probleme....
Hab mir bis her überlegt, dass ggT(|G|,|H|)=1, teilerfremder Ordnung. Und Damit dies gilt muss |G| [mm] \not= [/mm] |H| sein, denn wären die Gruppen gleich groß so wäre das ggT=|G| oder ggT=|H|.
Aber in fern hilft mir das weiter, um zu zeigen,dass es nur einen Guppenhomomorphismus gibt?
zu(b)
Eine Möglich keit ist es die Gruppenhomomorphismen druch ausprobieren zu ermitteln. Aber es gibt doch bestimmt eine elegantere Art diese zu fingen, oder?
Danke!
Christina
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Christina,
> (a) Seien G und H endliche Gruppen teilerfremder Ordnung.
> Zeigen Sie, dass es genau einen
> Gruppenhomomorphismus f: G->H gibt.
> (b) Bestimmen Sie alle Gruppenhomomorphismen g:
> (Z/nZ,+)->(Z/mZ,+) für [mm]m,n\in[/mm] {6,7,9}.
> Hallöle!
>
> zu(a)
> Habe mit dieser Aufgabe so meine Probleme....
> Hab mir bis her überlegt, dass ggT(|G|,|H|)=1,
> teilerfremder Ordnung. Und Damit dies gilt muss |G| [mm]\not=[/mm]
> |H| sein, denn wären die Gruppen gleich groß so wäre das
> ggT=|G| oder ggT=|H|.
> Aber in fern hilft mir das weiter, um zu zeigen,dass es nur
> einen Guppenhomomorphismus gibt?
Naja, das noch nicht; aber wenn $U$ Untergruppe von $H$ ist, dann sind auch $|U|$ und $|G|$ teilerfremd. Denk mal in Richtung "Satz von Lagrange" und "Homomorphiesatz für Gruppen"  .
>
> zu(b)
> Eine Möglich keit ist es die Gruppenhomomorphismen druch
> ausprobieren zu ermitteln. Aber es gibt doch bestimmt eine
> elegantere Art diese zu fingen, oder?
Oh ja, nämlich Teil a) der Aufgabe .
Mfg
zahlenspieler
|
|
|
|
