Gruppen und Verknüpfungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:52 So 30.10.2005 | | Autor: | Osnatika |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo
Meine Frage lautet:
Sei G eine Menge mit einer assoziatieven Verknüpfung, für die es ein neutrales Element e gibt (ae=ea=a für alle a [mm] \in [/mm] G) Ferner besitze jedes a [mm] \in [/mm] G ein rechtsinverses Element, also ein Element a' [mm] \in [/mm] G mit aa' = e. Zeige, dass G eine Gruppe ist.
So meine Überlegung war: aa'=e (rechtsinvers), dann muss ich zeigen
das es auch noch ein linksinveres Element gibt. a'a=e
Dann sind alle Vorraussetzungen für eine Gruppe gegeben.
Weiter habe ich mir überlegt wenn aa'=e dann gilt auch a'a''=e und dieses e kann ich ja überall heran multiplizieren.
Mir fehlt jetzt aber total der Ansatz, ich weiß nur das man aa'= e so umformen muss, dass a'a=e herraus kommt.
Bitte helft mir weiter
Gruß Osnatika
|
|
| |
|
Hallo,
also wenn das wirklich eine Aufgabe ist, dann finde ich die sehr merkwürdig. Du sollst da die Definition einer Gruppe zeigen und das dürfte schwer möglich sein. Um zu zeigen, dass G Gruppe ist, brauchst du nicht z.z., dass rechts- und linksinverse Elemente existieren, sondern nur entweder oder. Wenn eine Gruppe rechtsinverse Elemente hat, dann auch linksinverse (Satz ohne Beweis).
Schau dir mal an, wie Gruppen definiert sind und dann wirst du das sehen oder du schreibst abweichend davon, wie ihr Gruppen definiert habt, wobei ich mir eigentlich nicht vorstellen kann, dass man das anders definieren kann.
VG mathmetzsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Mo 31.10.2005 | | Autor: | Osnatika |
Hmm ja das ist alles ein bißchen komisch.
Ich weiß ja wie die Definition einer Gruppe ist und mir war auch schon klar, dass es zu jedem rechtsinversen auch ein linksinverses Element gibt.
Aber ich denke es geht in der Aufgabe darum, diese Behauptung zu beweisen.
Könnte ein möglicher Beweis vielleicht so aussehen:
ae=ea=a
aa'=e
aa'= a'a (noch nicht bewiesen)
a'a''=e
a'a''=aa'=e
a''=a (noch nicht bewiesen)
(a'a'')= (aa') I(a)
(a)(a'a'')=(a)(aa')
(aa')a'' =(aa')a
ea''=ea
a''=a
Wenn a''= a und aa'=a'a'' gilt auch a'a=aa'=e
a [mm] \in [/mm] G hat genau ein inverses Element.
Kann man das so machen??? Oder ist der Beweis total daneben??
MFG Osnatika
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:00 Mo 31.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Julia!
Deine Beweisidee ist auf jeden Fall richtig, aber die Ausführung so chaotisch  , dass ich sie kaum nachvollziehen konnte.
Ich mache es mal vor:
Es sei $a [mm] \in [/mm] G$ beliebig gewählt. Dann gibt es ein $a' [mm] \in [/mm] G$ mit $aa'=e$. Zu zeigen ist, dass auch $a'a=e$ gilt.
Zu $a' [mm] \in [/mm] G$ gibt es ein $a'' [mm] \in [/mm] G$ mit $a'a''=e$. Dann folgt:
$a=ae=a(a'a'') = (aa')a''=ea'' =a''$,
also:
$e = aa' = a''a'$,
was zu zeigen war.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:14 Mo 31.10.2005 | | Autor: | Osnatika |
Dankeschön
du hast recht, das sieht wirklich ein bißchen aufgeräumter aus.
LG Julia
|
|
|
|
