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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:22 So 14.11.2004 | | Autor: | Toyo |
Hallo zusammen ich hab hier eine Aufgabe mit der ich überhaupt nicht klarkomme, hat einer von euch vielleicht ne Idee für mich?
Es sei U eine Untergruppe der Gruppe (G, ·). Für beliebige a, b [mm] \in [/mm] G sei eine Relation [mm] \sim [/mm] definiert durch
[mm] a \sim b : \gdw ab^{-1} \in U [/mm]
(a) Man zeige, daß [mm] \sim [/mm] eine Äquivalenzrelation auf G ist.
(b) Man prüfe, ob das Restsystem [mm] G/ \sim [/mm] stets wieder eine Gruppe wird, wenn
man für die Klassen [mm] \overline{a} , \overline{b} \in G/ \sim [/mm] eine Operation durch Rückführung auf
Repräsentanten erklärt: [mm] \overline{a} * \overline{b} := a * b [/mm]
Im Vorraus schonmal vielen Dank für eure Hilfe.
Gruß Toyo
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Hallo Toyo!
Oh, diese Aufgabe ist immens wichtig!
Die a) ist dabei gar nicht so schwer, die bekommst bestimmt alleine heraus.
Für die b): versuche mal nachzurechnen, ob immer das gleiche herauskommt, egal welche Repräsentanten einer Klasse man nimmt... und versuche dann, eine Bedingung dafür zu ermitteln, wann das gilt.
Bei dieser Gelegenheit: habt ihr schon den Begriff eines "Normalteilers" gehabt? Der könnte in dieser Situation nützlich sein... falls nciht, schlage ihn mal nach... 
Lars
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:23 Mo 15.11.2004 | | Autor: | Toyo |
Hi Lars und alle anderen,
danke erstmal für deine Hilfe Lars, die a) war wirklich nicht schwer, bei b) komme ich aber leider nicht weiter.
mein Problem ist, ich verstehe nicht ganz wie die durch die Äquivalenzrelation induzierte Faktorstruktur aussieht.
Kann es sein, dass jede Klasse ein Normalteiler der Gruppe G ist?
Aber wie sehen dann die anderen klassen aus?
ich hab nur die eine:
[mm] \overline{e} = {aa^{-1}, bb^{-1}, ...} [/mm]
Stimmt die?
Bitte sagt mir,wenn möglich, wie die anderen Klassen aussehen, oder wie ich sie bilde.
Vielen Dank. Gruß Toyo
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Hallo Toyo!
Also, um die b) geht es... wir haben also folgende Situation:
$G$ ist eine Gruppe und $U [mm] \subseteq [/mm] G$ eine Untergruppe. Auf $G$ wurde eine Äquivalenzrelation $ [mm] \sim [/mm] $ erklärt durch $g [mm] \sim [/mm] h : [mm] \Leftrightarrow gh^{-1} \in [/mm] U$.
Seien jetzt $a,b [mm] \in [/mm] G$ Repräsentanten von Klassen [mm] $\bar{a}, \bar{b} \in [/mm] G / [mm] \sim [/mm] $. Man definiert das Produkt der Klassen als die Klasse, die von dem Produkt der Repräsentanten repräsentiert wird, also [mm] $\bar{a} \cdot \bar{b} [/mm] = [mm] \bar{ab}$.
[/mm]
Ist dies wohldefiniert? Seien also $a' [mm] \in \bar{a}$ [/mm] und $b' [mm] \in \bar{b}$ [/mm] zwei weitere Vertreter der Klassen, d.h. $a [mm] \sim [/mm] a'$ und $b [mm] \sim [/mm] b'$ bzw. $u := aa'^{-1} [mm] \in [/mm] U$ und $v := bb'^{-1} [mm] \in [/mm] U$.
Zu zeigen: $ab [mm] \sim [/mm] a'b'$ also $abb'^{-1}a'^{-1} [mm] \in [/mm] U$.
Wir wissen schon: $v = bb'^{-1} [mm] \in [/mm] U$. Wir formen etwas um:
$abb'^{-1}a'^{-1} = a'a'^{-1}ava'^{-1} = [mm] a'\underbrace{u^{-1}v}_{\in U}a'^{-1}$
[/mm]
Wenn $U$ nun ein Normalteiler ist, das bedeutet dass für $g [mm] \in [/mm] G$ beliebig und $u [mm] \in [/mm] U$ wieder folgt, dass [mm] $gug^{-1} \in [/mm] U$, dann sind wir fertig. Und das ist genau die Bedingung, unter der die Menge der Äquivalenzklassen wieder eine Gruppe wird (die sogenannte Faktorgruppe).
Alles klar?
Lars
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