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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:08 Mi 01.12.2004 | | Autor: | Phlipper |
Ich probiere jetzt schon eine Stunde diese Aufgabe zu lösen,aber ich finde keinen Ansatz. Kann mir bitte jemand einen kleinen Tipp geben. Danke
Man zeige, daß eine von einem Element g [mm] \in [/mm] Sn der symmetrischen Gruppe des
Grades n erzeugte Gruppe <g> genau dann transitiv auf der Menge {1, . . . , n} wirkt, wenn g ein n-Zyklus ist.
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Gruß!
Überlege Dir zunächst, dass die eine Richtung trivial ist: falls es sich bei dem $g$ um einen $n$-Zykel handelt, dann hat die davon erzeugte Gruppe die Ordnung $n$ - und wie wirkt sie auf Deiner Grundmenge? Du mußt einfach zeigen, dass zu jedem Paar $m,m' [mm] \in \{1, \ldots n \}$ [/mm] ein Element [mm] $g^k \in \langle [/mm] g [mm] \rangle$ [/mm] gibt mit [mm] $g^k(m) [/mm] = m'$.
Die Rückrichtung ist etwas delikater... schau Dir die Zykelschreibweise von Elementen an und überlege Dir, welche Ordnung ein Element haben kann, das kein $n$-Zykel ist. Daraus ergibt sich dir Gruppenordnung der von $g$ erzeugten Gruppe... und wenn die zu klein ist, kannst Du einfach zeigen, dass die Operation von [mm] $\langle [/mm] g [mm] \rangle$ [/mm] auf [mm] $\{ 1, \ldots, n\}$ [/mm] nicht transitiv sein kann.
Alles klar? Falls nicht, nochmal nachfragen! 
Lars
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