Gruppen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:00 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Marietta |
Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum vorher gestellt.
Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:
Sei G eine abelsche Gruppe der Ordnung n, und seien p1,...,pr verschiedene Primteiler von n. Zeigen Sie: Es gibt ein Element g [mm] \in [/mm] G mit [mm] g^{p1...pr}=1, [/mm] aber [mm] g^k \not= [/mm] 1 für alle 1 [mm] \le [/mm] k < p1...pr.
Habe ich das richtig verstande, dass man die Ordnung von G schreiben kann als: n=p1*...*pr oder was heißt der erste Satz?
Nun weiß ich aber gar nicht wie ich anfangen soll. Wir hatten den Satz: Ordnung von [mm] G=p^n [/mm] dann folgt für alle g [mm] \in [/mm] G ord(g)=p mit [mm] g^p=1 [/mm] und [mm] g^k \not= [/mm] 1 für k< p wobei p eine Primzahl ist.
Aber irgendwie hilft mir das nicht, weil ich die Ordnung von G nicht als [mm] p^n [/mm] schreiben kann, oder doch?
Gruß Marietta
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:11 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Hexe |
> Habe ich das richtig verstande, dass man die Ordnung von G
> schreiben kann als: n=p1*...*pr oder was heißt der erste
> Satz?
Nicht ganz der erste Satz heißt vielmehr [mm] n=p_1^{i_1}*...*p_r^{i_r}
[/mm]
> Nun weiß ich aber gar nicht wie ich anfangen soll. Wir
> hatten den Satz: Ordnung von [mm]G=p^n[/mm] dann folgt für alle g
> [mm]\in[/mm] G ord(g)=p mit [mm]g^p=1[/mm] und [mm]g^k \not=[/mm] 1 für k< p wobei p
> eine Primzahl ist.
> Aber irgendwie hilft mir das nicht, weil ich die Ordnung
> von G nicht als [mm]p^n[/mm] schreiben kann, oder doch?
Das nicht aber du kannst G als direktes Produkt von gruppen der ordnungen [mm] p_1^{i_1} [/mm] ... schreiben und für jede dieser Faktoren kannst du dann den Satz anwenden und wenn du dann ein Element aus G nimmst das das produkt all dieser g der Ordnungen [mm] p_i [/mm] ist dann hast du das gewünschte.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:04 Di 26.04.2005 | | Autor: | Marietta |
Hallo!
Soweit ist das alles verständlich. Habe nur eine Frage bezüglich dem g.
Heißt es als Produkt darstellen einfach die anderen g multiplizieren oder ist hier das Kreuzprodukt gemeint? Wenn ich nähmlich die g multipliziere, addiere ich doch die Potenzen (die pi) und dann komme ich ja nicht auf g^p1...pr oder doch?
Danke Marietta
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:17 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Hexe |
also Malnehmen war falsch ausgedrückt, meistens ist in gruppen ja die Addition die Verknüpfung der Wahl obwohl ich sieals Produkt erhalte. Ich geb dir einfach mal ein Beispiel:
[mm] G=\IZ_{30} [/mm] |G|=2*3*5 und [mm] G=\IZ_2\times\IZ_3\times\IZ_5 [/mm] So jetzt betrachten wir die 1 sie hat in [mm] \IZ_2 [/mm] die Ordnung 2 in [mm] \IZ_3 [/mm] die Ordnung 3 und in [mm] \IZ_5 [/mm] die Ordnung 5 Wenn ich jetzt die 1 in [mm] \IZ_{30} [/mm] als Produkt der drei 1er betrachte ist klar das es die Ordnung 30 hat. Ich hab also nicht wirklich g^p1...pk sondern (p1*...pk)*g
Grüße Hexe
|
|
|
|
