Gruppe mit Ordn. 85 zyklisch < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass jede Gruppe G der Ordnung 85 zyklisch ist. |
Hallo!
Mein Lösungsvorschlag, ich bitte euch um eine strenge Korrektur  :
1. |G| = 85 = 5*17.
2. Mit Sylow-Sätzen erhalte ich die Existenz genau einer 5-Sylow-Gruppe [mm] U_1 [/mm] und genau einer 17-Sylow-Gruppe [mm] U_2
[/mm]
3. Es sind also [mm]U_1, U_2[/mm] Normalteiler von G, und [mm]U_1 \cap U_2 = \{e\}[/mm], da ein Element aus [mm]U_1[/mm] nur Ordnung 1 oder 5; ein Element aus [mm]U_2[/mm] nur Ordnung 1 oder 17 haben kann.
4.Daraus folgt (mir mittlerweile bekannt), dass [mm]G \overset{\sim}{=} U_1 \times U_2[/mm].
5. [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2[/mm] sind als Gruppen mit Primzahlordnung zyklisch, d.h. es gibt erzeugende Elemente [mm]a[/mm] von [mm]U_1[/mm] mit [mm]ord(a) = 5[/mm] und [mm]b[/mm] von [mm]U_2[/mm] mit [mm]ord(b) = 17[/mm] (ich glaube, das ist mit Kanonen auf Spatzen, weil ja ohnehin [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] Elemente der Ordnung 5 bzw. 17 haben müssen).
6. Damit ist wegen [mm]ggt(5,17) = 1[/mm] das Elemente [mm](a,b)\in U_1 \times U_2[/mm] ein Element der Ordnung [mm]5*17 = 85 = |G|[/mm], und das bedeutet doch dass G zyklisch ist, oder?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:24 Mi 16.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Stephan!
> Zeigen Sie, dass jede Gruppe G der Ordnung 85 zyklisch
> ist.
>
> Mein Lösungsvorschlag, ich bitte euch um eine strenge
> Korrektur :
>
> 1. |G| = 85 = 5*17.
> 2. Mit Sylow-Sätzen erhalte ich die Existenz genau einer
> 5-Sylow-Gruppe [mm]U_1[/mm] und genau einer 17-Sylow-Gruppe [mm]U_2[/mm]
> 3. Es sind also [mm]U_1, U_2[/mm] Normalteiler von G, und [mm]U_1 \cap U_2 = \{e\}[/mm],
> da ein Element aus [mm]U_1[/mm] nur Ordnung 1 oder 5; ein Element
> aus [mm]U_2[/mm] nur Ordnung 1 oder 17 haben kann.
> 4.Daraus folgt (mir mittlerweile bekannt), dass [mm]G \overset{\sim}{=} U_1 \times U_2[/mm].
Gut, dass es dir mittlerweile bekannt ist 
> 5. [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2[/mm] sind als Gruppen mit Primzahlordnung
> zyklisch, d.h. es gibt erzeugende Elemente [mm]a[/mm] von [mm]U_1[/mm] mit
> [mm]ord(a) = 5[/mm] und [mm]b[/mm] von [mm]U_2[/mm] mit [mm]ord(b) = 17[/mm] (ich glaube, das
> ist mit Kanonen auf Spatzen, weil ja ohnehin [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2[/mm]
> Elemente der Ordnung 5 bzw. 17 haben müssen).
> 6. Damit ist wegen [mm]ggt(5,17) = 1[/mm] das Elemente [mm](a,b)\in U_1 \times U_2[/mm]
> ein Element der Ordnung [mm]5*17 = 85 = |G|[/mm], und das bedeutet
> doch dass G zyklisch ist, oder?
Genau.
LG Felix
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Danke für deine Antwort, Felix ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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