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Gruppe bzgl. Matrixmultiplikat: bzgl. Matrixmultiplikation
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:55 Mi 12.12.2007
Autor: Mirage.Mirror

Aufgabe
Zeigen Sie, dass
[mm] GL_{n}(K) [/mm] := {A [mm] \in K^{nxn} [/mm] | es existiert ein X [mm] \in K^{nxn} [/mm] so dass XA=I}
eine Gruppe bzgl. Matrixmultiplikation ist.

Muss ich hier zeigen, dass es dieses X gibt und für dieses X in allen Elementen der Gruppe mit einem beliebigen A multipliziert die Einheitsmatrix ergibt?
Wie muss ich hier das zu zeigende aufführen um zu dem gewünschten Ergebnis zu kommen?

Würde mich über Tipps und Hilfe freuen ^^

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Gruppe bzgl. Matrixmultiplikat: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:23 Mi 12.12.2007
Autor: schachuzipus

Hallo Jessica,

> Zeigen Sie, dass
> [mm] GL_{2}(K) [/mm] := [mm] \{A \in K^{nxn} | es existiert ein X \in K^{nxn} so dass XA=I\} [/mm]

Ist es nun [mm] $GL_2(\IK)$ [/mm] oder [mm] $Gl_n(\IK)$ [/mm] ?

Passe mal das $n$ oder die 2 an ... ;-)

>  eine Gruppe bzgl. Matrixmultiplikation ist.
>  Muss ich hier zeigen, dass es dieses X gibt

nein, das ist definierende Eigenschaft von [mm] $Gl_2(\IK)$, [/mm] dh. zu jeder Matrix [mm] $A\in Gl_2(\IK)$ [/mm] gibt es ein [mm] $X\in M_2(\IK)$ [/mm] mit $XA=I$

> und für dieses
> X in allen Elementen der Gruppe mit einem beliebigen A
> multipliziert die Einheitsmatrix ergibt? [notok]
>  Wie muss ich hier das zu zeigende aufführen um zu dem
> gewünschten Ergebnis zu kommen?
>  
> Würde mich über Tipps und Hilfe freuen ^^
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Du sollst also zeigen, dass [mm] $(Gl_2(\IK),\cdot{})$ [/mm] eine Gruppe ist.

Zeige also jedes der entsprechenden Gruppenaxiome - s. im Skript.

Also

(1) die Abgeschlossenheit bzgl. [mm] \cdot{} [/mm]

Nimm dir 2 Matrizen [mm] $A,B\in Gl_2(\IK)$ [/mm] her und zeige, dass dann auch [mm] $A\cdot{}B\in Gl_2(\IK)$ [/mm] ist

Dazu überlege dir, was es heißt, dass [mm] $A,B\in Gl_2(\IK)$ [/mm] sind.

Das bedeutet nach Def. von [mm] $Gl_2(\IK)$: $\exists X_A,X_B\in M_2(\IK)$ [/mm] mit [mm] $X_A\cdot{}A=I$ [/mm] und [mm] $X_B\cdot{}B=I$ [/mm]

Kannst du nun für [mm] $A\cdot{}B$ [/mm] eine Matrix [mm] $X\in M_2(\IK)$ [/mm] angeben, so dass [mm] $X\cdot{}(A\cdot{}B)=I$ [/mm] ist? Dann wäre [mm] $A\cdot{}B\in Gl_2(\IK)$ [/mm]

(2) die Assoziativität Für alle [mm] $A,B,C\in Gl_2(\IK)$ [/mm] gilt $(AB)C=A(BC)$

Das gilt aber generell für die Matrixmultiplikation, das ist also nix zu zeigen

(3) Existenz eines (des) neutrales Elementes in [mm] $Gl_2(\IK)$ [/mm]

(4) Jedes Element in [mm] $Gl_2(\IK)$ [/mm] hat ein Inverses in [mm] $Gl_2(\IK)$ [/mm]


Versuche mal, mit diesen Hinweisen die Punkte (1)-(4) "abzuarbeiten".. ;-)

Du musst dich nur immer an die Definition von [mm] $Gl_2(\IK)$ [/mm] haslten...


LG

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Gruppe bzgl. Matrixmultiplikat: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:59 Mi 12.12.2007
Autor: Mirage.Mirror

Oh, da hab ich mich vertippt, es soll [mm] GL_{n} [/mm] heißen ^^"
Danke für den Hinweis ich werde mich gleich mal drüber machen es so zu lösen, vielen lieben Dank

Bezug
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