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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:35 Di 03.02.2015 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | | Jede endliche Gruppe, deren Ordnung eine Primzahl ist, ist zyklisch. |
Hi, ich hätte diverse Fragen zu dieser Aufgabe.
Ich habe zwei verschiedene Beweise und würde gerne klären ob bei so korrekt sind.
Beweis 1:
Sei [mm] $g\in G\setminus\{e\}$. [/mm] Betrachte die Untergruppe [mm] $\langle g\rangle$. [/mm]
Nach dem Satz von Lagrange gilt:
[mm] $|G|=|G\\langle g\rangle|\cdot |\langle g\rangle|$. [/mm]
Damit ist, weil |G|=p, wobei p Primzahl, bereits [mm] $|\langle g\rangle|\in\{1,p\}$.
[/mm]
Es genügt zu zeigen, dass [mm] $|\langle g\rangle|\neq [/mm] 1$. Das ist klar, da [mm] $g\neq [/mm] e$. Also gilt [mm] $|\langle g\rangle|=p=|G|$, [/mm] somit [mm] $\langle g\rangle=G$, [/mm] also ist G zyklisch.
Beweis 2:
Da |G|=p wird die Ordnung offensichtlich von der Primzahl p geteilt. Nach dem Satz von Cauchy gibt es somit mindestens ein [mm] $g_p\in [/mm] G$ so, dass [mm] $o(g_p)=p$.
[/mm]
Somit wird G von [mm] $g_p$ [/mm] erzeugt.
Nun eine weitere Frage. Und zwar gilt ja "zyklisch " [mm] $\Rightarrow$ [/mm] "abelsch".
Die Frage ist nun eher beweistechnischer Natur.
Kann man allgemein sagen, dass es "nichts" bringt, wenn ich vorher zeigen kann, dass die Gruppe abelsch ist?
Kann sowas im allgemeinen Hilfreich sein, eine weitere Aussage zu zeigen, von der man jedoch weiß, dass diese nicht die andere impliziert?
Können solche Zusatzinformationen, die ja im Grunde direkt als "Abfallprodukt" mit anfallen, hilfreich sein?
Es ist ja nicht schwer zu zeigen, dass G hier abelsch wäre. Man braucht ja nur das Zentrum zu betrachten, was nicht trivial ist, da G Primzahlordnung hat.
Aber das erfährt man ja spätestens auch, wenn man gezeigt hat, dass G zyklisch ist, als Nebenergebnis.
Ich hoffe ihr versteht wie ich das meine.
Naja, wahrscheinlich kann man das im allgemeinen nicht sagen.
Vielen Dank im voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:24 Di 03.02.2015 | | Autor: | hippias |
> Jede endliche Gruppe, deren Ordnung eine Primzahl ist, ist
> zyklisch.
> Hi, ich hätte diverse Fragen zu dieser Aufgabe.
>
> Ich habe zwei verschiedene Beweise und würde gerne klären
> ob bei so korrekt sind.
>
> Beweis 1:
>
> Sei [mm]g\in G\setminus\{e\}[/mm].
Wenn man es ganz genau nehmen moechte, dann koenntest Du noch kurz begruenden, weshalb unter Deinen Voraussetzungen $G$ Elemente [mm] $\neq [/mm] e$ enthaelt.
> Betrachte die Untergruppe [mm]\langle g\rangle[/mm].
> Nach dem Satz von Lagrange gilt:
>
> [mm]|G|=|G\\langle g\rangle|\cdot |\langle g\rangle|[/mm].
>
> Damit ist, weil |G|=p, wobei p Primzahl, bereits [mm]|\langle g\rangle|\in\{1,p\}[/mm].
>
> Es genügt zu zeigen, dass [mm]|\langle g\rangle|\neq 1[/mm]. Das
> ist klar, da [mm]g\neq e[/mm]. Also gilt [mm]|\langle g\rangle|=p=|G|[/mm],
> somit [mm]\langle g\rangle=G[/mm], also ist G zyklisch.
>
> Beweis 2:
>
> Da |G|=p wird die Ordnung offensichtlich von der Primzahl p
> geteilt. Nach dem Satz von Cauchy gibt es somit mindestens
> ein [mm]g_p\in G[/mm] so, dass [mm]o(g_p)=p[/mm].
> Somit wird G von [mm]g_p[/mm] erzeugt.
>
Beide Beweise sind voellig in Ordnung. Ich wuerde dem ersten den Vorzug geben, weil er elementarer ist.
>
> Nun eine weitere Frage. Und zwar gilt ja "zyklisch "
> [mm]\Rightarrow[/mm] "abelsch".
> Die Frage ist nun eher beweistechnischer Natur.
> Kann man allgemein sagen, dass es "nichts" bringt, wenn
> ich vorher zeigen kann, dass die Gruppe abelsch ist?
Vorher? Wovor? Wenn Du zeigen kannst, dass eine Gruppe abelsch ist, ist es bestimmt oft ein nuetzliches Ergebnis.
> Kann sowas im allgemeinen Hilfreich sein, eine weitere
> Aussage zu zeigen, von der man jedoch weiß, dass diese
> nicht die andere impliziert?
Welche andere Aussage?
>
> Können solche Zusatzinformationen, die ja im Grunde direkt
> als "Abfallprodukt" mit anfallen, hilfreich sein?
Ja.
>
> Es ist ja nicht schwer zu zeigen, dass G hier abelsch
> wäre. Man braucht ja nur das Zentrum zu betrachten, was
> nicht trivial ist, da G Primzahlordnung hat.
> Aber das erfährt man ja spätestens auch, wenn man
> gezeigt hat, dass G zyklisch ist, als Nebenergebnis.
>
> Ich hoffe ihr versteht wie ich das meine.
Leider nein  Vielleicht koenntest nocheinmal versuchen zu fragen. Ich kennte mir folgendes Szenario vorstellen: Du moechtest zeigen, dass eine Gruppe zyklisch ist. Dann koennte es nuetzlich sein, erst zu beweisen, dass sie abelsch ist. Und mit Hilfe dieser zusaetzlichen Eigenschaft, kann man dann vielleicht herausbekommen, dass sie von einem Element erzeugt wird.
> Naja, wahrscheinlich kann man das im allgemeinen nicht
> sagen.
>
>
> Vielen Dank im voraus.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 08:30 Di 03.02.2015 | | Autor: | YuSul |
Ja, das war gemeint. Das ich zeigen möchte, dass die Gruppe zyklisch ist und ob es hilfreich sein kann vorher zu zeigen, dass die Gruppe abelsch ist.
Oder allgemein:
Wenn ich eine Aussage A zeigen möchte, welche B impliziert, es sinnvoll ist vorher B zu zeigen, wenn es "einfach" ist, oder man nun mal eher drauf kommt.
Naja, wie gesagt. Es ist bestimmt immer gut mehr Informationen zu haben, aber muss nicht immer hilfreich sein.
Zu den Beweisen:
Gut. :)
Lustig, ich hätte irgendwie dem zweiten Beweis den Vortritt gelassen, da er kürzer ist, bzw. das Argument recht einfach.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Do 05.02.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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