Gruppe Ordnung 6 Elem. Ord.3 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | zu zeigen ist, dass sich in jeder Gruppe der Ordnung 6 mindestens ein Element der Ordnung 2 und der Ordnung 3 befindet. |
Den Beweis für die Existenz eines Elements der Ordnung 2 habe ich gefunden. Nur stehe ich irgendwie auf dem Schlauch, warum auch ein Element der Ordnung 3 existieren sollte.
Kann mir da jemand helfen?
Danke! 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:02 Mo 14.02.2011 | | Autor: | statler |
Hi!
> zu zeigen ist, dass sich in jeder Gruppe der Ordnung 6
> mindestens ein Element der Ordnung 2 und der Ordnung 3
> befindet.
> Den Beweis für die Existenz eines Elements der Ordnung 2
> habe ich gefunden. Nur stehe ich irgendwie auf dem
> Schlauch, warum auch ein Element der Ordnung 3 existieren
> sollte.
Wenn es ein Element a der Ordnung 6 gibt, hat [mm] a^2 [/mm] die Ordnung 3. Wenn alle Elemente außer dem neutralen die Ordnung 2 hätten, wäre die Gruppe kommutativ und jede Untergruppe ein Normalteiler. Also gäbe es eine Restklassengruppe der Ordnung 3, die zyklisch wäre. Die beide erzeugenden Elemente der Restklassengruppe hätten Urbilder der Ordnung 2, was ein Widerspruch ist.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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> Hi!
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> > zu zeigen ist, dass sich in jeder Gruppe der Ordnung 6
> > mindestens ein Element der Ordnung 2 und der Ordnung 3
> > befindet.
> > Den Beweis für die Existenz eines Elements der Ordnung
> 2
> > habe ich gefunden. Nur stehe ich irgendwie auf dem
> > Schlauch, warum auch ein Element der Ordnung 3 existieren
> > sollte.
>
> Wenn es ein Element a der Ordnung 6 gibt, hat [mm]a^2[/mm] die
> Ordnung 3. Wenn alle Elemente außer dem neutralen die
> Ordnung 2 hätten, wäre die Gruppe kommutativ und jede
> Untergruppe ein Normalteiler.
So weit verstehe ich es.
> Also gäbe es eine
> Restklassengruppe der Ordnung 3, die zyklisch wäre. Die
> beide erzeugenden Elemente der Restklassengruppe hätten
> Urbilder der Ordnung 2, was ein Widerspruch ist.
>
Das ist mir jetzt ein Rätsel. Warum gäbe es eine zyklische Restklassengruppe der Ordnung 3? Zyklisch heißt doch, von einem Element erzeugt. Und hier sähen meine Untergruppen alle so aus:
[mm] G=\{1,a,b\}
[/mm]
wobei a und b die Ordnung zwei haben. D.h. mein a z.B. kann die Gruppe gar nicht erzeugen, da [mm] a^2=1\neq [/mm] b gilt.
In der nächsten Zeile redest du dann wieder von zwei erzeugenden Elementen? Und von deren Urbildern. Welche Urbilder meinst du denn? Also von welcher Abbildung?
Danke!
> Gruß aus HH-Harburg
> Dieter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 Mi 16.02.2011 | | Autor: | statler |
Hallo!
> So weit verstehe ich es.
>
> > Also gäbe es eine
> > Restklassengruppe der Ordnung 3, die zyklisch wäre. Die
> > beide erzeugenden Elemente der Restklassengruppe hätten
> > Urbilder der Ordnung 2, was ein Widerspruch ist.
> >
>
> Das ist mir jetzt ein Rätsel. Warum gäbe es eine
> zyklische Restklassengruppe der Ordnung 3? Zyklisch heißt
> doch, von einem Element erzeugt. Und hier sähen meine
> Untergruppen alle so aus:
> [mm]G=\{1,a,b\}[/mm]
> wobei a und b die Ordnung zwei haben. D.h. mein a z.B.
> kann die Gruppe gar nicht erzeugen, da [mm]a^2=1\neq[/mm] b gilt.
> In der nächsten Zeile redest du dann wieder von zwei
> erzeugenden Elementen? Und von deren Urbildern. Welche
> Urbilder meinst du denn? Also von welcher Abbildung?
Wenn G die Gruppe ist und N eine Untergruppe der Ordnung 2, dann ist doch G/N eine Restklassengruppe der Ordnung 3, wird also von einem [mm] \bar{g} [/mm] erzeugt. g sei das Urbild von [mm] \bar{g}. [/mm] Nun hat g die Ordnung 2. Folglich ist [mm] (\bar{g})^2 [/mm] = [mm] \bar{g^2} [/mm] = [mm] \bar{e} [/mm] = N, was der Erzeugendeneigenschaft widerspricht. So klarer?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:42 Do 17.02.2011 | | Autor: | Balendilin |
> Hallo!
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> > So weit verstehe ich es.
> >
> > > Also gäbe es eine
> > > Restklassengruppe der Ordnung 3, die zyklisch wäre. Die
> > > beide erzeugenden Elemente der Restklassengruppe hätten
> > > Urbilder der Ordnung 2, was ein Widerspruch ist.
> > >
> >
> > Das ist mir jetzt ein Rätsel. Warum gäbe es eine
> > zyklische Restklassengruppe der Ordnung 3? Zyklisch heißt
> > doch, von einem Element erzeugt. Und hier sähen meine
> > Untergruppen alle so aus:
> > [mm]G=\{1,a,b\}[/mm]
> > wobei a und b die Ordnung zwei haben. D.h. mein a z.B.
> > kann die Gruppe gar nicht erzeugen, da [mm]a^2=1\neq[/mm] b gilt.
> > In der nächsten Zeile redest du dann wieder von zwei
> > erzeugenden Elementen? Und von deren Urbildern. Welche
> > Urbilder meinst du denn? Also von welcher Abbildung?
>
> Wenn G die Gruppe ist und N eine Untergruppe der Ordnung 2,
> dann ist doch G/N eine Restklassengruppe der Ordnung 3,
> wird also von einem [mm]\bar{g}[/mm] erzeugt. g sei das Urbild von
> [mm]\bar{g}.[/mm] Nun hat g die Ordnung 2. Folglich ist [mm](\bar{g})^2[/mm]
> = [mm]\bar{g^2}[/mm] = [mm]\bar{e}[/mm] = N, was der Erzeugendeneigenschaft
> widerspricht. So klarer?
>
> Gruß aus HH-Harburg
> Dieter
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Ja, perfekt! Vielen Dank!
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